Такая бесконечность не нуждается в
фактически завершенном протяжении. Величина может быть как угодно малой, и
все-таки она будет содержать в себе бесконечное количество точек. И это одна
и та же бесконечность - и в отрезке прямой, и в построенном на этом отрезке
квадрате, и в построенном на этом квадрате кубе. Бесконечность точек, и
притом одна и та же, будет при любых протяжениях и при любых метрических
размерах геометрических элементов. Словом, куда ни обернись, везде
бесконечность. Античный космос по своим метрическим размерам вполне конечен,
но количество содержащихся в нем точек бесконечно - как и в любом детском
мячике, как и в любом маковом зернышке. Греческая эстетика есть астрономия;
а астрономия, с интуитивной точки зрения, невозможна без космических шаров и
полушарий, без космических кругов и без космических круговых движений. Но
бесконечность точек в них везде одна и та же.
4) Повсеместность центра и периферии. Из вышеизложенного вытекает также и
тот вывод, что каждая точка космоса считалась у древних и его центром и его
периферией.
5) Правильные геометрические тела. Правильность мыслилась и в области
плоскостей, или прямолинейных поверхностей. Элементарный геометрический опыт
подсказывает, что, не считая шара, существует только пять правильных
геометрических тел, или многогранников: пирамида, куб, октаэдр, икосаэдр и
додекаэдр. Мы не ошибемся, если скажем, что в области пространства греческая
эстетика есть эстетика шести правильных геометрических тел. Не только
склонные к умозрению пифагорейцы говорили об этих шести телах, но и
позитивно настроенный материалист Демокрит считал все тела состоящими из
пирамид. Вся античная эстетика буквально упивается созерцанием шести
правильных геометрических тел.
6) Правильные музыкальные интервалы. Точно так же правильными
признавались унисон, октава, терция и квинта. Сохранилось множество античных
текстов на эту тему, основные из которых приведены выше. Без этих интервалов
не обходилось ни одно музыкальное построение, хотя учение о музыкальной
гамме было разнообразно и типов правильного разделения гаммы было несколько.
7) Предел. Историки математики правильно говорят, что в античности не
было научно разработанного понятия предела. Но историки математики не всегда
учитывают то обстоятельство, что античная наука большею частью оперирует
интуитивными методами. В античности было интуитивное понимание предела и
притом с интуитивной точки зрения весьма точное. Во всяком случае, когда
здесь говорили о переходе одного элемента в другой (земля - вода - воздух -
огонь - эфир) и вообще о круговороте вещества, то почти всегда оперировали
понятием предела. Здесь не место давать точное математическое определение
предела. Достаточно будет сказать о том, что для предела требуется по
крайней мере одна такая неподвижная точка, в направлении которой движется
другая точка, и движется непрерывно, никогда ее не достигая, т.е. как бы ни
было мало расстояние между этими двумя точками, между ними всегда можно
вообразить еще третью точку.
Если иметь в виду это, пусть еще примитивное и элементарное понимание
предела, то без него не обходилась ни одна философско-эстетическая система
древности. Когда элейцы опровергали бесконечную делимость, они доказывали,
что бесконечное количество точек на линии должно было бы приводить нас к
отрезку бесконечно большого размера. Аргумент этот, как мы знаем,
неправилен, потому что бесконечность точек может уместиться на любом самом
малом отрезке. Однако, та теория, которую критикуют здесь элейцы,
несомненно, исходит из бесконечной делимости отрезка прямой; и,
следовательно, на этом отрезке любая точка такова, что никакая другая точка
не может с ней слиться и потому может считаться пределом движения всякой
другой точки на данном отрезке. В положительном смысле о бесконечной
делимости учил Анаксагор, а в значительной степени - и атомисты. Согласно
учению последних, атома невозможно было достигнуть путем деления реального
физического тела, т.е. атом выступал здесь как предел бесконечного деления.
Эстетическое значение предела в ранней греческой эстетике огромно.
Красоту греки хотели видеть недостижимой, но в то же время совершенно ясной
и понятной в каждой точке движения реального мира. Для современной
математики понятие предела и понятие непрерывного, никогда не достигающего
своей цели движения (или мгновенного перескакивания через этот предел в
дальнейшее становление), являются понятиями чисто научными, для демонстрации
которых требуется минимальная интуиция. При достаточно абстрактной
формулировке понятия предела здесь даже и совсем никакой интуиции не
требуется. Однако - и с этим мы уже много раз встречались - в античности
самые абстрактные теории мышления всегда базировались на чувственной
интуиции; эта интуиция всегда выдвигалась на первый план и часто даже больше
чем надо, часто даже ценою затемнения самой мысли. Поэтому недостижимость
красоты, с одной стороны, а с другой стороны, постоянное наличие стремления
к ней - это важнейший принцип античной эстетики. Путем последовательного
проведения этого принципа в значительной мере достигалось выражение того
общеизвестного эстетического феномена, что во всякой красоте есть вечное
искание и ненасытное стремление, хотя, с другой стороны, красота так же
понятна, ясна, определенна и достижима при помощи конечных и притом
небольших переходов, как и всякая вообще чувственная вещь.
8) Красота как дифференциал. С точки зрения древних красота заключается,
прежде всего, в совместимости и цельности, во взаимной зависимости, которую
мы назвали бы теперь функциональной зависимостью. Кроме того, красота, о
античной точки зрения, заключается в вечном движении. Но элементы, зависящие
друг от друга и пребывающие в вечном и непрерывном движении, мы теперь
называем аргументом и функцией, изменение которых непрерывно и едва заметно
нарастает. Имея какой-нибудь непрерывно нарастающий аргумент, мы в то же
время не можем не иметь и непрерывно нарастающей функции. Предел бесконечно
малого нарастания функции называется дифференциалом. И, следовательно, если
прекрасно вечное и непрерывное движение, а также если прекрасна и всякая
непрерывная зависимость одного движения от другого, то ясно, что прекрасен и
всякий дифференциал функции.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210
фактически завершенном протяжении. Величина может быть как угодно малой, и
все-таки она будет содержать в себе бесконечное количество точек. И это одна
и та же бесконечность - и в отрезке прямой, и в построенном на этом отрезке
квадрате, и в построенном на этом квадрате кубе. Бесконечность точек, и
притом одна и та же, будет при любых протяжениях и при любых метрических
размерах геометрических элементов. Словом, куда ни обернись, везде
бесконечность. Античный космос по своим метрическим размерам вполне конечен,
но количество содержащихся в нем точек бесконечно - как и в любом детском
мячике, как и в любом маковом зернышке. Греческая эстетика есть астрономия;
а астрономия, с интуитивной точки зрения, невозможна без космических шаров и
полушарий, без космических кругов и без космических круговых движений. Но
бесконечность точек в них везде одна и та же.
4) Повсеместность центра и периферии. Из вышеизложенного вытекает также и
тот вывод, что каждая точка космоса считалась у древних и его центром и его
периферией.
5) Правильные геометрические тела. Правильность мыслилась и в области
плоскостей, или прямолинейных поверхностей. Элементарный геометрический опыт
подсказывает, что, не считая шара, существует только пять правильных
геометрических тел, или многогранников: пирамида, куб, октаэдр, икосаэдр и
додекаэдр. Мы не ошибемся, если скажем, что в области пространства греческая
эстетика есть эстетика шести правильных геометрических тел. Не только
склонные к умозрению пифагорейцы говорили об этих шести телах, но и
позитивно настроенный материалист Демокрит считал все тела состоящими из
пирамид. Вся античная эстетика буквально упивается созерцанием шести
правильных геометрических тел.
6) Правильные музыкальные интервалы. Точно так же правильными
признавались унисон, октава, терция и квинта. Сохранилось множество античных
текстов на эту тему, основные из которых приведены выше. Без этих интервалов
не обходилось ни одно музыкальное построение, хотя учение о музыкальной
гамме было разнообразно и типов правильного разделения гаммы было несколько.
7) Предел. Историки математики правильно говорят, что в античности не
было научно разработанного понятия предела. Но историки математики не всегда
учитывают то обстоятельство, что античная наука большею частью оперирует
интуитивными методами. В античности было интуитивное понимание предела и
притом с интуитивной точки зрения весьма точное. Во всяком случае, когда
здесь говорили о переходе одного элемента в другой (земля - вода - воздух -
огонь - эфир) и вообще о круговороте вещества, то почти всегда оперировали
понятием предела. Здесь не место давать точное математическое определение
предела. Достаточно будет сказать о том, что для предела требуется по
крайней мере одна такая неподвижная точка, в направлении которой движется
другая точка, и движется непрерывно, никогда ее не достигая, т.е. как бы ни
было мало расстояние между этими двумя точками, между ними всегда можно
вообразить еще третью точку.
Если иметь в виду это, пусть еще примитивное и элементарное понимание
предела, то без него не обходилась ни одна философско-эстетическая система
древности. Когда элейцы опровергали бесконечную делимость, они доказывали,
что бесконечное количество точек на линии должно было бы приводить нас к
отрезку бесконечно большого размера. Аргумент этот, как мы знаем,
неправилен, потому что бесконечность точек может уместиться на любом самом
малом отрезке. Однако, та теория, которую критикуют здесь элейцы,
несомненно, исходит из бесконечной делимости отрезка прямой; и,
следовательно, на этом отрезке любая точка такова, что никакая другая точка
не может с ней слиться и потому может считаться пределом движения всякой
другой точки на данном отрезке. В положительном смысле о бесконечной
делимости учил Анаксагор, а в значительной степени - и атомисты. Согласно
учению последних, атома невозможно было достигнуть путем деления реального
физического тела, т.е. атом выступал здесь как предел бесконечного деления.
Эстетическое значение предела в ранней греческой эстетике огромно.
Красоту греки хотели видеть недостижимой, но в то же время совершенно ясной
и понятной в каждой точке движения реального мира. Для современной
математики понятие предела и понятие непрерывного, никогда не достигающего
своей цели движения (или мгновенного перескакивания через этот предел в
дальнейшее становление), являются понятиями чисто научными, для демонстрации
которых требуется минимальная интуиция. При достаточно абстрактной
формулировке понятия предела здесь даже и совсем никакой интуиции не
требуется. Однако - и с этим мы уже много раз встречались - в античности
самые абстрактные теории мышления всегда базировались на чувственной
интуиции; эта интуиция всегда выдвигалась на первый план и часто даже больше
чем надо, часто даже ценою затемнения самой мысли. Поэтому недостижимость
красоты, с одной стороны, а с другой стороны, постоянное наличие стремления
к ней - это важнейший принцип античной эстетики. Путем последовательного
проведения этого принципа в значительной мере достигалось выражение того
общеизвестного эстетического феномена, что во всякой красоте есть вечное
искание и ненасытное стремление, хотя, с другой стороны, красота так же
понятна, ясна, определенна и достижима при помощи конечных и притом
небольших переходов, как и всякая вообще чувственная вещь.
8) Красота как дифференциал. С точки зрения древних красота заключается,
прежде всего, в совместимости и цельности, во взаимной зависимости, которую
мы назвали бы теперь функциональной зависимостью. Кроме того, красота, о
античной точки зрения, заключается в вечном движении. Но элементы, зависящие
друг от друга и пребывающие в вечном и непрерывном движении, мы теперь
называем аргументом и функцией, изменение которых непрерывно и едва заметно
нарастает. Имея какой-нибудь непрерывно нарастающий аргумент, мы в то же
время не можем не иметь и непрерывно нарастающей функции. Предел бесконечно
малого нарастания функции называется дифференциалом. И, следовательно, если
прекрасно вечное и непрерывное движение, а также если прекрасна и всякая
непрерывная зависимость одного движения от другого, то ясно, что прекрасен и
всякий дифференциал функции.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210