79). И вместе с тем признание таких глубочайших
факторов, как непрерывность и функциональность, приводило (конечно, тоже еще
в интуитивной и мало расчлененной форме) к выводам огромной теоретической
важности. Ведь если u есть функция от х, то при условии непрерывности этой
функции и в условиях образования все новой и новой качественности в каждый
момент изменения u и х, т.е. в условиях возможности, трактовать каждый
момент изменения как предел всех предыдущих моментов их изменения, мы имеем
дело уже с инфинитезимальными представлениями. Мы должны теперь
рассматривать каждый атом как дифференциал того или другого качества,
получаемый в результате его непрерывного движения в зависимости от
какого-нибудь другого или многих других атомов; а сложное тело мы тем самым
должны рассматривать как интеграл, возникающий в результате непрерывного
становления образующих его элементов. Либо нужно расстаться с представлением
античных атомистов о нераздельности материи и движения и о закономерности
этого движения, либо мы должны заключить, что античные атомисты в
интуитивной и мало расчлененной форме уже оперировали понятиями
дифференциала, интеграла и производной.
Начатки математического анализа в греческой атомистике констатируются уже
издавна. Можно указать, например, работу M.Simon "Geschichte der Mathematik
im Altertum" Berl., 1909. Здесь доказывается, что атом Демокрита есть
дифференциал массы, что объем тела у него есть "интеграл, сумма бесконечно
малых призм", что Демокрит, во всяком случае, занимался проблемой
непрерывности (на это указывает название не дошедшего до нас его сочинения
"Об иррациональных отрезках прямой и континууме, nastzn", что метод
Демокрита напоминает Кавальери и что Демокрит пока еще не смог "доказать"
правильности и необходимости применения инфинитезимального метода, но он его
уже "указал", что Демокрит "соединил" учение пифагорейцев о пустоте,
Эмпедокла - о порах и Анаксагора - о бесконечно малых в общее учение о
дифференциале массы, пространства и движения. И.Л.Гейберг тоже пишет о
Демокрите: "...многое заставляет предполагать в нем предшественника Архимеда
в области исчисления бесконечно малых"99. Необходимо указать также на работу
R.Phillppson "Democritea" ("Hermes", 64 Bd. 1929, стр. 175 - 183), где тоже
устанавливается наличие у Демокрита учения о бесконечно малых. Новейшей в
этой области является работа J.Mau "Zum Problem des Infinitesimalen bei den
antiken Atomisten", Berl., 1957, где в убедительной форме доказывается
наличие идеи бесконечно малых у греческих атомистов и обсуждается полемика
последних с элеатами.
Не обошлось также и без возражений. E.Hoppe в специальной статье "Die
Entwicklung des Infinitesimalbegriffs" (Philologus, Berl., 76, 1920, стр.
355 - 359) доказывает, на основании известного текста Плутарха, что
Демокрит, разделяя конус на параллельные пластинки, не смог получить
образующей конуса в виде прямой линии и что, следовательно, понятия
дифференциала и интеграла были ему чужды. Открытие бесконечно малых E.Hoppe
приписывает Платону, используя учение последнего о беспредельном в "Филебе"
(17 А, 18 А, 24 А, 25 В, 27 1"). Возражал против идеи бесконечно малых у
атомистов и E.Frank в работе "Plato und die sogenannten Pythagoreer".
В советской науке С.Я.Лурье в своих многочисленных работах рассматривал
учение греческих атомистов с точки зрения математического анализа, подвергая
обстоятельной критике дошедшие до нас источники по этому вопросу. Здесь мы
укажем основной труд С.Я.Лурье из этой области "Теория бесконечно малых у
древних атомистов" (М. - Л., 1935)100. Вопроса о бесконечно малых у
атомистов кратко касается и А.О.Маковельский в "Древнегреческих атомистах"
(Баку, 1946), И.Г.Башмакова в своих "Лекциях по истории математики в древней
Греции" ("Историко-математические исследования", вып. ХI, под ред.
Г.Ф.Рыбкина и А.П.Юшкевича. М., 1958, стр. 331). Учитывая те трудности,
которые возникали у Демокрита в его учении о конечной делимости на путях
математического анализа, она совершенно правильно пишет: "И все же в
концепции Демокрита содержалась чрезвычайно плодотворная мысль, которая
впервые по-настоящему была оценена только Архимедом. Мы говорим о выдвинутом
им принципе составления тел из большого числа маленьких частиц, размеры
которых известны. В этом можно видеть зародышевую формулу интеграционных
методов". Необходимо, наконец, указать на весьма ценное освещение
математической проблематики у Демокрита, данное В.Ф.Асмусом в его работе
"Демокрит" (М., 1960, стр. 35 - 41).
10. Критика неправильных интерпретаций
Античные мыслители вообще являются стихийными материалистами, а ввиду их
постоянной опоры на чувственные и, в частности, зрительные восприятия -
также и художественными материалистами. Атомисты, как и вообще все античные
философы, очень любят всякого рода образы, художественные представления,
иллюстрации, при этом они вводят их даже там, где мы ожидали бы чисто
отвлеченную мысль или точную научную формулу. Говорится, например, что атомы
плавают в воздухе наподобие пылинок в световом луче. Особенно такого рода
образы любил Лукреций.
Конечно, все эти художественные иллюстрации мы не можем целиком
отбросить. Это было бы совершенно антиисторично. Тем не менее было бы
неверно в анализе античного атомизма ограничиваться только наглядными
картинами вроде первоначального вихря атомов, их столкновения и взаимного
отталкивания, их плавания по какому-то воздуху и т.д. Такие образы и
картины, как они ни ценны, являются недостаточными даже и для Анаксимандра,
для Гераклита, для Анаксагора и для всех прочих греческих натурфилософов,
которые предшествовали атомистам и во многих отношениях были наивнее их.
Сквозь иллюстративную картинность, которая нам весьма пригодится в анализе
атомистической эстетики, надо видеть великие философские идеи.
Стихийный материализм, яркие художественные тенденции, наивность и
нерасчлененность теоретических рассуждений, постоянное предпочтение
целостности всяким рассудочным и чересчур расчлененным подходам - все это
может иметь для нас значение только при том условии, если мы за всей
наглядностью и непосредственностью классического античного мышления не будем
пропускать тех великих философских идей, которые, по известному суждению
Энгельса, предвосхитили все то, что последующие культуры давали уже в
расчлененном виде. Поэтому не нужно удивляться, что даже у ранних греческих
философов мы находим и зачатки теории эволюции, и зачатки математического
учения о множествах, и вполне определенное предчувствие идей математического
анализа, и учение о неэвклидовости пространства, и учение о всеобщей связи
явлений, и акустику с правильным соотношением тонов, и диалектику с учением
об единстве противоположностей, и т.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210
факторов, как непрерывность и функциональность, приводило (конечно, тоже еще
в интуитивной и мало расчлененной форме) к выводам огромной теоретической
важности. Ведь если u есть функция от х, то при условии непрерывности этой
функции и в условиях образования все новой и новой качественности в каждый
момент изменения u и х, т.е. в условиях возможности, трактовать каждый
момент изменения как предел всех предыдущих моментов их изменения, мы имеем
дело уже с инфинитезимальными представлениями. Мы должны теперь
рассматривать каждый атом как дифференциал того или другого качества,
получаемый в результате его непрерывного движения в зависимости от
какого-нибудь другого или многих других атомов; а сложное тело мы тем самым
должны рассматривать как интеграл, возникающий в результате непрерывного
становления образующих его элементов. Либо нужно расстаться с представлением
античных атомистов о нераздельности материи и движения и о закономерности
этого движения, либо мы должны заключить, что античные атомисты в
интуитивной и мало расчлененной форме уже оперировали понятиями
дифференциала, интеграла и производной.
Начатки математического анализа в греческой атомистике констатируются уже
издавна. Можно указать, например, работу M.Simon "Geschichte der Mathematik
im Altertum" Berl., 1909. Здесь доказывается, что атом Демокрита есть
дифференциал массы, что объем тела у него есть "интеграл, сумма бесконечно
малых призм", что Демокрит, во всяком случае, занимался проблемой
непрерывности (на это указывает название не дошедшего до нас его сочинения
"Об иррациональных отрезках прямой и континууме, nastzn", что метод
Демокрита напоминает Кавальери и что Демокрит пока еще не смог "доказать"
правильности и необходимости применения инфинитезимального метода, но он его
уже "указал", что Демокрит "соединил" учение пифагорейцев о пустоте,
Эмпедокла - о порах и Анаксагора - о бесконечно малых в общее учение о
дифференциале массы, пространства и движения. И.Л.Гейберг тоже пишет о
Демокрите: "...многое заставляет предполагать в нем предшественника Архимеда
в области исчисления бесконечно малых"99. Необходимо указать также на работу
R.Phillppson "Democritea" ("Hermes", 64 Bd. 1929, стр. 175 - 183), где тоже
устанавливается наличие у Демокрита учения о бесконечно малых. Новейшей в
этой области является работа J.Mau "Zum Problem des Infinitesimalen bei den
antiken Atomisten", Berl., 1957, где в убедительной форме доказывается
наличие идеи бесконечно малых у греческих атомистов и обсуждается полемика
последних с элеатами.
Не обошлось также и без возражений. E.Hoppe в специальной статье "Die
Entwicklung des Infinitesimalbegriffs" (Philologus, Berl., 76, 1920, стр.
355 - 359) доказывает, на основании известного текста Плутарха, что
Демокрит, разделяя конус на параллельные пластинки, не смог получить
образующей конуса в виде прямой линии и что, следовательно, понятия
дифференциала и интеграла были ему чужды. Открытие бесконечно малых E.Hoppe
приписывает Платону, используя учение последнего о беспредельном в "Филебе"
(17 А, 18 А, 24 А, 25 В, 27 1"). Возражал против идеи бесконечно малых у
атомистов и E.Frank в работе "Plato und die sogenannten Pythagoreer".
В советской науке С.Я.Лурье в своих многочисленных работах рассматривал
учение греческих атомистов с точки зрения математического анализа, подвергая
обстоятельной критике дошедшие до нас источники по этому вопросу. Здесь мы
укажем основной труд С.Я.Лурье из этой области "Теория бесконечно малых у
древних атомистов" (М. - Л., 1935)100. Вопроса о бесконечно малых у
атомистов кратко касается и А.О.Маковельский в "Древнегреческих атомистах"
(Баку, 1946), И.Г.Башмакова в своих "Лекциях по истории математики в древней
Греции" ("Историко-математические исследования", вып. ХI, под ред.
Г.Ф.Рыбкина и А.П.Юшкевича. М., 1958, стр. 331). Учитывая те трудности,
которые возникали у Демокрита в его учении о конечной делимости на путях
математического анализа, она совершенно правильно пишет: "И все же в
концепции Демокрита содержалась чрезвычайно плодотворная мысль, которая
впервые по-настоящему была оценена только Архимедом. Мы говорим о выдвинутом
им принципе составления тел из большого числа маленьких частиц, размеры
которых известны. В этом можно видеть зародышевую формулу интеграционных
методов". Необходимо, наконец, указать на весьма ценное освещение
математической проблематики у Демокрита, данное В.Ф.Асмусом в его работе
"Демокрит" (М., 1960, стр. 35 - 41).
10. Критика неправильных интерпретаций
Античные мыслители вообще являются стихийными материалистами, а ввиду их
постоянной опоры на чувственные и, в частности, зрительные восприятия -
также и художественными материалистами. Атомисты, как и вообще все античные
философы, очень любят всякого рода образы, художественные представления,
иллюстрации, при этом они вводят их даже там, где мы ожидали бы чисто
отвлеченную мысль или точную научную формулу. Говорится, например, что атомы
плавают в воздухе наподобие пылинок в световом луче. Особенно такого рода
образы любил Лукреций.
Конечно, все эти художественные иллюстрации мы не можем целиком
отбросить. Это было бы совершенно антиисторично. Тем не менее было бы
неверно в анализе античного атомизма ограничиваться только наглядными
картинами вроде первоначального вихря атомов, их столкновения и взаимного
отталкивания, их плавания по какому-то воздуху и т.д. Такие образы и
картины, как они ни ценны, являются недостаточными даже и для Анаксимандра,
для Гераклита, для Анаксагора и для всех прочих греческих натурфилософов,
которые предшествовали атомистам и во многих отношениях были наивнее их.
Сквозь иллюстративную картинность, которая нам весьма пригодится в анализе
атомистической эстетики, надо видеть великие философские идеи.
Стихийный материализм, яркие художественные тенденции, наивность и
нерасчлененность теоретических рассуждений, постоянное предпочтение
целостности всяким рассудочным и чересчур расчлененным подходам - все это
может иметь для нас значение только при том условии, если мы за всей
наглядностью и непосредственностью классического античного мышления не будем
пропускать тех великих философских идей, которые, по известному суждению
Энгельса, предвосхитили все то, что последующие культуры давали уже в
расчлененном виде. Поэтому не нужно удивляться, что даже у ранних греческих
философов мы находим и зачатки теории эволюции, и зачатки математического
учения о множествах, и вполне определенное предчувствие идей математического
анализа, и учение о неэвклидовости пространства, и учение о всеобщей связи
явлений, и акустику с правильным соотношением тонов, и диалектику с учением
об единстве противоположностей, и т.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210