Прикладная математика еще
полна такого рода варевом из опыта и рефлексии. Но подобно тому как уже с
довольно давних пор стали фактически игнорировать в науке одну часть
ньютоновской оптики за другой, с той, однако, непоследовательностью, что еще
сохраняются, хотя и в противоречии с этим, прочие части ее, точно так же
является фактом, что часть упомянутых мнимых доказательств уже сама собой
предана забвению или заменена другими доказательствами.
Примечание 2 Цель дифференциального исчисления, вытекающая из его
применения
В предшествующем примечании мы рассмотрели, с одной стороны,
определенность понятия бесконечно малого, которым пользуются в
дифференциальном исчислении, с другой - основание ее введения в это
исчисление. И то и другое - абстрактные и потому сами по себе также и легкие
определения. Так называемое применение представляет больше трудностей, равно
как и более интересную сторону; элементы этой конкретной стороны составят
предмет настоящего примечания. -
Дальше нечему учиться; выведение ближайших форм, дифференциала
произведения, показательной функции и т. д. получается из этой формулы
механически; в короткое время, в каких-нибудь полчаса - с нахождением
дифференциалов дано также и обратное: нахождение первоначальной функции на
основании дифференциалов, интегрирование - можно овладеть всей теорией.
Задерживает на ней дольше лишь старание усмотреть, сделать [для себя]
понятным, каким образом после того, как одна сторона (Umstand) задачи,
нахождение этого коэффициента, решена так легко аналитическим, т. е.
совершенно арифметическим способом, посредством разложения функции
переменной величины, приобретшей через приращение форму двучлена,
оказывается правильной также и другая сторона, а именно отбрасывание всех
членов возникающего ряда, кроме первого. Если бы было так, что единственно
лишь этот коэффициент и нужен, то после его нахождения (Bestinunung) было
бы, как мы сказали, менее чем за полчаса покончено со всем, что касается
теории, и отбрасывание прочих членов ряда представляло бы столь мало
затруднений, что скорее о них как о членах ряда (как второй, третьей и т. д.
[производной] функции их определение равным образом уже закончено с
определением первого члена) вовсе и не было бы речи, так как в них
совершенно нет надобности.
Можно здесь предпослать замечание, что по методу дифференциального
исчисления сразу видно, что он изобретен и установлен не как нечто
самодовлеющее; он не только не обоснован сам по себе, как особый способ
аналитического действия, но насильственность, заключающаяся в том, что прямо
отбрасываются члены, получающиеся посредством разложения функции, несмотря
на то, что все это разложение признается полностью относящимся к делу - ибо
дело именно и усматривается в отличии разложенной функции переменной
величины (после того как ей придана форма двучлена) от первоначальной
функции, - скорее совершенно противоречит всем математическим принципам. И
потребность в таком образе действий, и отсутствие внутреннего его оправдания
сразу же указывают на то, что его источник и основание находятся где-то вне
его. Это не единственный случаи в науке, когда то, что ставится вначале как
элементарное и из чего, как предполагают, должны быть выведены положения
данной науки, оказывается неочевидным и имеющим свою причину и обоснование
скорее в последующем. История возникновения дифференциального исчисления
показывает, что оно имело свое начало главным образом как бы в кунштюках - в
различных так называемых методах касательных; после того как образ действия
был распространен и на другие предметы, он был осознан позднее и выражен в
абстрактных формулах, которые теперь старались также возвысить до принципов.
Выше мы показали, что определенность понятия так называемых бесконечно
малых есть качественная определенность таких количеств, которые прежде всего
как определеннные количества положены находящимися в отношении друг к другу,
а затем в связи с этим присоединялось эмпирическое исследование, ставившее
себе целью обнаружить эту определенность понятия в имеющихся описаниях или
дефинициях бесконечно малого, которые берут его как бесконечно малую
разность и тому подобное. - Мы это сделали лишь для того, чтобы достигнуть
абстрактной определенности понятия, как таковой. Дальше возникает вопрос:
каков переход от нее к математической форме и ее применению. Для этой цели
прежде всего нужно развить дальше теоретическую сторону, определенность
понятия, которая окажется в самой себе не совсем бесплодной; затем следует
рассмотреть отношение ее к применению и доказать относительно их обоих,
насколько это здесь уместно, что [получающиеся] общие выводы в то же время
соответствуют тому, что принадлежит к сущности дифференциального исчисления,
и тому способу, каким оно достигает своей цели.
Прежде всего следует напомнить, что мы уже объяснили мимоходом ту форму,
которую имеет в области математики рассматриваемая нами теперь
определенность понятия. Мы показали качественную определенность
количественного сначала в количественном отношении вообще; но уже при
разъяснении различных так называемых видов счета (см. относящееся к этому
примечание) мы, забегая вперед, указали, что именно в степенном отношении,
которое нам предстоит еще рассмотреть в своем месте, число через приравнение
моментов его понятия, единицы и численности, положено как возратившееся к
самому себе, и тем самым оно приобретает в себе момент бесконечности,
для-себя-бытия, т. е. определяется самим собой. Ясно выраженная качественная
определенность величин принадлежит, таким образом (это также было упомянуто
выше), по своему существу к степенным определениям, а так как специфика
дифференциального исчисления заключается в том, что оно оперирует
качественными формами величин, то свойственным ему математическим предметом
необходимо должно быть рассмотрение форм степеней, и все задачи и их
решения, ради которых применяется дифференциальное исчисление, показывают,
что интерес в них состоит единственно лишь в рассмотрении степенных
определений, как таковых.
Как ни важна эта основа и хотя она сразу же ставит на первое место нечто
определенное, а не чисто формальные категории переменных, непрерывных или
бесконечных величин и т. п. или только функции вообще, она все же еще
слишком обща;
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304
полна такого рода варевом из опыта и рефлексии. Но подобно тому как уже с
довольно давних пор стали фактически игнорировать в науке одну часть
ньютоновской оптики за другой, с той, однако, непоследовательностью, что еще
сохраняются, хотя и в противоречии с этим, прочие части ее, точно так же
является фактом, что часть упомянутых мнимых доказательств уже сама собой
предана забвению или заменена другими доказательствами.
Примечание 2 Цель дифференциального исчисления, вытекающая из его
применения
В предшествующем примечании мы рассмотрели, с одной стороны,
определенность понятия бесконечно малого, которым пользуются в
дифференциальном исчислении, с другой - основание ее введения в это
исчисление. И то и другое - абстрактные и потому сами по себе также и легкие
определения. Так называемое применение представляет больше трудностей, равно
как и более интересную сторону; элементы этой конкретной стороны составят
предмет настоящего примечания. -
Дальше нечему учиться; выведение ближайших форм, дифференциала
произведения, показательной функции и т. д. получается из этой формулы
механически; в короткое время, в каких-нибудь полчаса - с нахождением
дифференциалов дано также и обратное: нахождение первоначальной функции на
основании дифференциалов, интегрирование - можно овладеть всей теорией.
Задерживает на ней дольше лишь старание усмотреть, сделать [для себя]
понятным, каким образом после того, как одна сторона (Umstand) задачи,
нахождение этого коэффициента, решена так легко аналитическим, т. е.
совершенно арифметическим способом, посредством разложения функции
переменной величины, приобретшей через приращение форму двучлена,
оказывается правильной также и другая сторона, а именно отбрасывание всех
членов возникающего ряда, кроме первого. Если бы было так, что единственно
лишь этот коэффициент и нужен, то после его нахождения (Bestinunung) было
бы, как мы сказали, менее чем за полчаса покончено со всем, что касается
теории, и отбрасывание прочих членов ряда представляло бы столь мало
затруднений, что скорее о них как о членах ряда (как второй, третьей и т. д.
[производной] функции их определение равным образом уже закончено с
определением первого члена) вовсе и не было бы речи, так как в них
совершенно нет надобности.
Можно здесь предпослать замечание, что по методу дифференциального
исчисления сразу видно, что он изобретен и установлен не как нечто
самодовлеющее; он не только не обоснован сам по себе, как особый способ
аналитического действия, но насильственность, заключающаяся в том, что прямо
отбрасываются члены, получающиеся посредством разложения функции, несмотря
на то, что все это разложение признается полностью относящимся к делу - ибо
дело именно и усматривается в отличии разложенной функции переменной
величины (после того как ей придана форма двучлена) от первоначальной
функции, - скорее совершенно противоречит всем математическим принципам. И
потребность в таком образе действий, и отсутствие внутреннего его оправдания
сразу же указывают на то, что его источник и основание находятся где-то вне
его. Это не единственный случаи в науке, когда то, что ставится вначале как
элементарное и из чего, как предполагают, должны быть выведены положения
данной науки, оказывается неочевидным и имеющим свою причину и обоснование
скорее в последующем. История возникновения дифференциального исчисления
показывает, что оно имело свое начало главным образом как бы в кунштюках - в
различных так называемых методах касательных; после того как образ действия
был распространен и на другие предметы, он был осознан позднее и выражен в
абстрактных формулах, которые теперь старались также возвысить до принципов.
Выше мы показали, что определенность понятия так называемых бесконечно
малых есть качественная определенность таких количеств, которые прежде всего
как определеннные количества положены находящимися в отношении друг к другу,
а затем в связи с этим присоединялось эмпирическое исследование, ставившее
себе целью обнаружить эту определенность понятия в имеющихся описаниях или
дефинициях бесконечно малого, которые берут его как бесконечно малую
разность и тому подобное. - Мы это сделали лишь для того, чтобы достигнуть
абстрактной определенности понятия, как таковой. Дальше возникает вопрос:
каков переход от нее к математической форме и ее применению. Для этой цели
прежде всего нужно развить дальше теоретическую сторону, определенность
понятия, которая окажется в самой себе не совсем бесплодной; затем следует
рассмотреть отношение ее к применению и доказать относительно их обоих,
насколько это здесь уместно, что [получающиеся] общие выводы в то же время
соответствуют тому, что принадлежит к сущности дифференциального исчисления,
и тому способу, каким оно достигает своей цели.
Прежде всего следует напомнить, что мы уже объяснили мимоходом ту форму,
которую имеет в области математики рассматриваемая нами теперь
определенность понятия. Мы показали качественную определенность
количественного сначала в количественном отношении вообще; но уже при
разъяснении различных так называемых видов счета (см. относящееся к этому
примечание) мы, забегая вперед, указали, что именно в степенном отношении,
которое нам предстоит еще рассмотреть в своем месте, число через приравнение
моментов его понятия, единицы и численности, положено как возратившееся к
самому себе, и тем самым оно приобретает в себе момент бесконечности,
для-себя-бытия, т. е. определяется самим собой. Ясно выраженная качественная
определенность величин принадлежит, таким образом (это также было упомянуто
выше), по своему существу к степенным определениям, а так как специфика
дифференциального исчисления заключается в том, что оно оперирует
качественными формами величин, то свойственным ему математическим предметом
необходимо должно быть рассмотрение форм степеней, и все задачи и их
решения, ради которых применяется дифференциальное исчисление, показывают,
что интерес в них состоит единственно лишь в рассмотрении степенных
определений, как таковых.
Как ни важна эта основа и хотя она сразу же ставит на первое место нечто
определенное, а не чисто формальные категории переменных, непрерывных или
бесконечных величин и т. п. или только функции вообще, она все же еще
слишком обща;
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304