е. конечно. - В числе как количестве
представляют себе, например, сто так, что только сотое "одно" ограничивает
"многие" таким образом, что они составляют сто. С одной стороны, это
правильно; с другой же, из ста "одних" никакое не обладает преимуществом,
так как они только одинаковы; каждое из них есть в такой же мере сотое, как
и другие; все они, следовательно, принадлежат к той границе, благодаря
которой данное число есть сто; для своей определенности это число не может
обойтись ни без одного из них; прочие "одни", следовательно, не составляют в
сравнении с сотым "одним" такого наличного бытия, которое находилось бы вне
границы или лишь внутри ее, вообще было бы отлично от нее. Численность не
есть поэтому некоторое множество в противоположность охватывающему,
ограничивающему "одному", а сама составляет это ограничение, которое есть
некое определенное количество; "многие" составляют одно число, одну двойку,
один десяток, одну сотню и т. д.
Итак, ограничивающее "одно" есть определенность в отношении другого,
отличение данного числа от других. Но это отличие не становится качественной
определенностью, а остается количественным, относится лишь к сравнительной
внешней рефлексии. Число как "одно" остается возвращенным к себе и
безразличным к другим. Это безразличие числа к другим есть его сущностное
определение; оно составляет его в-себе-определен-ность, но в то же время и
его собственную внешность. - Число есть, таким образом, нумерическое "одно"
как абсолютно определенное "одно", которое имеет в то же время форму простой
непосредственности и для которого поэтому соотношение с другим совершенно
внешнее. Как такое "одно", которое есть число, оно, далее, имеет
определенность (поскольку она есть соотношение с другим) как свои моменты
внутри самого себя, в своем различии между единицей и численностью, и
численность сама есть множество "одних", т. е. в нем самом имеется этот
абсолютно внешний характер. - Это противоречие числа или определенного
количества вообще внутри себя составляет качество определенного количества,
- качество, в дальнейших определениях которого это противоречие получает
свое развитие.
Примечание 1
[Арифметические действия. Кантовские априорные синтетические суждения
созерцания]
Пространственная и числовая величины обычно рассматриваются как два вида
величин таким образом, что пространственная величина сама по себе есть столь
же определенная величина, как и числовая величина. Их различие, как
полагают, состоит лишь в различных определениях непрерывности и
дискретности, как определенное же количество они стоят на одной ступени.
Геометрия, вообще говоря, имеет своим предметом в виде пространственной
величины непрерывную величину, а арифметика в виде числовой величины -
дискретную. Но вместе с этой неодинаковостью предмета они не имеют и
одинакового способа и совершенства ограничения или определенности.
Пространственная величина имеет лишь ограничение вообще; поскольку она
должна рассматриваться как безусловно определенный квант, она нуждается в
числе. Геометрия, как таковая, не измеряет пространственных фигур, не есть
искусство измерения, она лишь сравнивает их. В даваемых ею дефинициях
определения также отчасти заимствуются ею из равенства сторон, углов, из
равного расстояния. Так, например, круг, основывающийся единственно лишь на
равенстве расстояния всех возможных в нем точек от одного центра, не
нуждается для своего определения ни в каком числе. Эти определения,
основывающиеся на равенстве или неравенстве, суть подлинно геометрические.
Но их недостаточно, и для определения других фигур, например треугольника,
четырехугольника, требуется число, заключающее в своем принципе, в "одном",
определенность самостоятельную (das fur sich Bestinuntsein), а не с помощью
чего-то другого, стало быть, не через сравнение. В точке, правда,
пространственная величина имеет определенность, соответствующую "одному";
однако точка, поскольку она выходит вовне себя, становится иным, становится
линией; так как она по своему существу есть лишь "одно" пространства, то она
в соотношении становится такой непрерывностью, в которой снята точечность,
самостоятельная опре-[еленность, "одно". Поскольку самостоятельная
определенность
должна сохраниться в вовне-себя-бытии, приходится представлять линию как
некоторое множество "одних", и она должна получить внутри себя границу,
определение многих "одних", т. е. величину линии - и точно так же других
пространственных определений - следует брать как число.
Арифметика рассматривает число и его фигуры, или, вернее, не
рассматривает их, а оперирует ими. Ибо число есть безразличная, инертная
определенность; оно должно быть приведено в действие и в соотношение извне.
Способы такого соотнесения - это [четыре] арифметических действия. Они
излагаются в арифметике одно после другого, и ясно, что одно действие
зависит от другого. Однако в арифметике не выделяется нить, руководящая их
последовательностью. Но из самого определения понятия числа легко получается
систематический порядок, на который справедливо притязает изложение этих
элементов в учебниках. На эти руководящие определения следует здесь обратить
некоторое внимание.
В силу своего принципа, "одного", число есть вообще нечто внешне
сочетанное, всецело аналитическая фигура, в которой нет никакой внутренней
связи. Таким образом, поскольку оно лишь нечто порожденное извне, всякое
исчисление есть про-дуцирование чисел, счет или, говоря более определенно,
сосчиты-вание. Разница в этом внешнем продуцировании, совершающем постоянно
лишь одно и то же, может заключаться только в различии по отношению друг к
другу сосчитываемых чисел; такое различие само должно быть заимствовано
откуда-то извне и из внешнего определения.
Качественное различие, составляющее определенность числа, - это то, с
которым мы познакомились, - различие между единицей и численностью; к этому
различию сводится поэтому всякая определенность понятия, могущая иметь место
в арифметических действиях. Различие же, присущее числам как определенным
количествам, есть внешнее тождество и внешнее различие, равенство и
неравенство, которые суть рефлективные моменты и которые следует
рассматривать среди определенной сущности там, где трактуется о различии.
Далее, нужно предварительно отметить, что числа могут в общем быть
произведены двояко - либо сочетанием, либо разъединением уже сочетанных;
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304
представляют себе, например, сто так, что только сотое "одно" ограничивает
"многие" таким образом, что они составляют сто. С одной стороны, это
правильно; с другой же, из ста "одних" никакое не обладает преимуществом,
так как они только одинаковы; каждое из них есть в такой же мере сотое, как
и другие; все они, следовательно, принадлежат к той границе, благодаря
которой данное число есть сто; для своей определенности это число не может
обойтись ни без одного из них; прочие "одни", следовательно, не составляют в
сравнении с сотым "одним" такого наличного бытия, которое находилось бы вне
границы или лишь внутри ее, вообще было бы отлично от нее. Численность не
есть поэтому некоторое множество в противоположность охватывающему,
ограничивающему "одному", а сама составляет это ограничение, которое есть
некое определенное количество; "многие" составляют одно число, одну двойку,
один десяток, одну сотню и т. д.
Итак, ограничивающее "одно" есть определенность в отношении другого,
отличение данного числа от других. Но это отличие не становится качественной
определенностью, а остается количественным, относится лишь к сравнительной
внешней рефлексии. Число как "одно" остается возвращенным к себе и
безразличным к другим. Это безразличие числа к другим есть его сущностное
определение; оно составляет его в-себе-определен-ность, но в то же время и
его собственную внешность. - Число есть, таким образом, нумерическое "одно"
как абсолютно определенное "одно", которое имеет в то же время форму простой
непосредственности и для которого поэтому соотношение с другим совершенно
внешнее. Как такое "одно", которое есть число, оно, далее, имеет
определенность (поскольку она есть соотношение с другим) как свои моменты
внутри самого себя, в своем различии между единицей и численностью, и
численность сама есть множество "одних", т. е. в нем самом имеется этот
абсолютно внешний характер. - Это противоречие числа или определенного
количества вообще внутри себя составляет качество определенного количества,
- качество, в дальнейших определениях которого это противоречие получает
свое развитие.
Примечание 1
[Арифметические действия. Кантовские априорные синтетические суждения
созерцания]
Пространственная и числовая величины обычно рассматриваются как два вида
величин таким образом, что пространственная величина сама по себе есть столь
же определенная величина, как и числовая величина. Их различие, как
полагают, состоит лишь в различных определениях непрерывности и
дискретности, как определенное же количество они стоят на одной ступени.
Геометрия, вообще говоря, имеет своим предметом в виде пространственной
величины непрерывную величину, а арифметика в виде числовой величины -
дискретную. Но вместе с этой неодинаковостью предмета они не имеют и
одинакового способа и совершенства ограничения или определенности.
Пространственная величина имеет лишь ограничение вообще; поскольку она
должна рассматриваться как безусловно определенный квант, она нуждается в
числе. Геометрия, как таковая, не измеряет пространственных фигур, не есть
искусство измерения, она лишь сравнивает их. В даваемых ею дефинициях
определения также отчасти заимствуются ею из равенства сторон, углов, из
равного расстояния. Так, например, круг, основывающийся единственно лишь на
равенстве расстояния всех возможных в нем точек от одного центра, не
нуждается для своего определения ни в каком числе. Эти определения,
основывающиеся на равенстве или неравенстве, суть подлинно геометрические.
Но их недостаточно, и для определения других фигур, например треугольника,
четырехугольника, требуется число, заключающее в своем принципе, в "одном",
определенность самостоятельную (das fur sich Bestinuntsein), а не с помощью
чего-то другого, стало быть, не через сравнение. В точке, правда,
пространственная величина имеет определенность, соответствующую "одному";
однако точка, поскольку она выходит вовне себя, становится иным, становится
линией; так как она по своему существу есть лишь "одно" пространства, то она
в соотношении становится такой непрерывностью, в которой снята точечность,
самостоятельная опре-[еленность, "одно". Поскольку самостоятельная
определенность
должна сохраниться в вовне-себя-бытии, приходится представлять линию как
некоторое множество "одних", и она должна получить внутри себя границу,
определение многих "одних", т. е. величину линии - и точно так же других
пространственных определений - следует брать как число.
Арифметика рассматривает число и его фигуры, или, вернее, не
рассматривает их, а оперирует ими. Ибо число есть безразличная, инертная
определенность; оно должно быть приведено в действие и в соотношение извне.
Способы такого соотнесения - это [четыре] арифметических действия. Они
излагаются в арифметике одно после другого, и ясно, что одно действие
зависит от другого. Однако в арифметике не выделяется нить, руководящая их
последовательностью. Но из самого определения понятия числа легко получается
систематический порядок, на который справедливо притязает изложение этих
элементов в учебниках. На эти руководящие определения следует здесь обратить
некоторое внимание.
В силу своего принципа, "одного", число есть вообще нечто внешне
сочетанное, всецело аналитическая фигура, в которой нет никакой внутренней
связи. Таким образом, поскольку оно лишь нечто порожденное извне, всякое
исчисление есть про-дуцирование чисел, счет или, говоря более определенно,
сосчиты-вание. Разница в этом внешнем продуцировании, совершающем постоянно
лишь одно и то же, может заключаться только в различии по отношению друг к
другу сосчитываемых чисел; такое различие само должно быть заимствовано
откуда-то извне и из внешнего определения.
Качественное различие, составляющее определенность числа, - это то, с
которым мы познакомились, - различие между единицей и численностью; к этому
различию сводится поэтому всякая определенность понятия, могущая иметь место
в арифметических действиях. Различие же, присущее числам как определенным
количествам, есть внешнее тождество и внешнее различие, равенство и
неравенство, которые суть рефлективные моменты и которые следует
рассматривать среди определенной сущности там, где трактуется о различии.
Далее, нужно предварительно отметить, что числа могут в общем быть
произведены двояко - либо сочетанием, либо разъединением уже сочетанных;
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304