Чтобы выяснить, в чем заключается истинное определение тех моментов
функции, которыми занимается высший анализ, мы снова должны вкратце обозреть
отмеченные выше ступени.
В дробях числа 2 и 7, каждое само по себе, суть определенные кванты и
соотношение для них несущественно; а и b равным образом должны представлять
такие определенные количества, которые и вне отношения остаются тем, что они
есть. Далее, суть также постоянное определенное количество, некоторое
частное; отношение составляет некую численность, единицей которой служит
знаменатель, а численностью этих единиц - числитель, или наоборот. Если бы
мы подставили вместо 2 и 7 - 4 и 14ит.д.,то отношение осталось бы тем же
самым и как определенное количество. Но это в корне изменяется, например, в
функции -Ї/"; здесь, правда, л и у имеют [и тот] смысл, что могут быть
определенными количествами; но определенное частное имеют не х и у, а лишь х
и у2. Поэтому указанные стороны отношения л и у, во-первых, не только не
определенные количества, но и, во-вторых, их отношение не постоянное
определенное количество (а также не имеется в виду такое определенное
количество, как это, например, имеет место при а и b), не постоянное
частное, а это частное как определенное количество совершенно переменно. Но
это следует только из того, что х находится в отношении не к у, а к квадрату
у. Отношение величины к степени есть не определенное количество, а
качественное по своему существу отношение. Степенное отношение есть то
обстоятельство, которое должно рассматриваться как основное определение. - В
функции же прямой линии у = ах есть обычная дробь и частное; эта функция
есть поэтому лишь формально функция переменных величин или, иначе говоря, х
и у здесь то же самое, что а и b в " они не имеют того определения,
сообразно с которым их рассматривает дифференциальное и интегральное
исчисление. - Ввиду особенной природы переменных величин в этом способе
рассмотрения было бы целесообразно ввести для них и особое название, и
обозначения, отличные от обычных обозначений неизвестных величин в каждом
конечном, определенном или неопределенном уравнении, - по причине их
существенного отличия от таких просто неизвестных величин, которые в себе
суть вполне определенные количества или определенная совокупность
определенных квантов. - И в самом деле, лишь отсутствие сознания особенности
того, что составляет интерес высшего анализа и чем вызваны потребность в
дифференциальном исчислении и изобретение его, само по себе привело к
включению функций первой степени, каково уравнение прямой линии, в состав
этого исчисления; вызван такой формализм ошибочным мнением, будто правильное
в себе требование обобщения какого-нибудь метода можно выполнить, опуская ту
специфическую определенность, на которую опирается потребность в этом
методе, так что считается, будто в рассматриваемой нами области дело вдет
только о переменных величинах вообще. От значительной доли формализма в
рассмотрении этих предметов и в их трактовке можно было бы, конечно,
избавиться, если бы поняли, что дифференциальное исчисление касается не
переменных величин, как таковых, а степенных определений.
Но имеется еще дальнейшая ступень, на которой математическое бесконечное
обнаруживает свою специфику. В уравнении, в котором х и у положены прежде
всего как определенные некоторым степенным отношением, х и у, как таковые,
должны еще означать определенные количества; и вот это значение совершенно
утрачивается в так называемых бесконечно малых разностях, dx, dy уже не
определенные количества и не должны иметь значение таковых, а имеют значение
лишь в своем соотношении, имеют смысл только как моменты. Они уже не нечто,
если принимать нечто за определенное количество, они не конечные разности;
но они и не ничто, не нуль, лишенный определения. Вне своего отношения они
чистые нули, но их следует брать только как моменты отношения, как
определения дифференциального коэффициента .-.
В этом понятии бесконечного определенное количество поистине завершено в
некоторое качественное наличное бытие; оно положено как действительно
бесконечное; оно снято не только как то или иное определенное количество, а
как определенное количество вообще. Но [при этом ] сохраняется
количественная определенность как элемент определенных количеств, как
принцип или, как еще говорили, она сохраняется в своем первом понятии.
Против этого понятия и направлены все те нападки, которым подверглось
основное данное математикой определение этого бесконечного -
дифференциального и интегрального исчисления. Неправильные представления
самих математиков привели к непризнанию этого понятия; но виновна в этих
нападках главным образом неспособность обосновать этот предмет как понятие.
Однако понятие, как было указано выше, математика не может здесь обойти, ибо
как математика бесконечного она не ограничивается рассмотрением конечной
определенности своих предметов (как, например, в чистой математике
пространство и число и их определения рассматриваются и соотносятся друг с
другом лишь со стороны их конечности), а приводит заимствованное оттуда и
трактуемое ею определение в тождество с его противоположностью, превращая,
например, кривую линию в прямую, круг - в многоугольник и т. д. Поэтому
действия, к которым она позволяет себе прибегать в дифференциальном и
интегральном исчислении, находятся в полном противоречии с природой чисто
конечных определений и их соотношений и, стало быть, могли бы найти свое
обоснование только в понятии.
Если математика бесконечного настаивала на том, что эти количественные
определения суть исчезающие величины, т. е. такие, которые уже не
определенные количества, но и не ничто, а сохраняют еще некоторую
определенность относительно другого, то [нападавшим на нее] казалось
совершенно ясным, что нет, как они выражались, никакого среднего состояния
между бытием и ничто. - Каково значение этого возражения и так называемого
среднего состояния, это уже было показано выше при рассмотрении категории
становления (примечание 4). Конечно, единство бытия и ничто не есть
состояние; состояние было бы таким определением бытия и ничто, в которое эти
моменты, так сказать, попали только случайно, как бы впав в болезнь или
подвергшись внешнему воздействию со стороны ошибочного мышления;
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304