Процентили могут таким образом исказить результаты, и по
этим причинам, вместе со статистическими ограничениями, их ис-
пользование не рекомендуется.
Различные типы стандартных показателей
Наилучший метод для представления норм - в виде стандартизо-
ванных показателей. Существует несколько типов стандартизован-
ных показателей, которые, как мы увидим, в общем подобны. Они
описаны ниже.
Z-ПОКАЗАТЕЛИ
Стандартизованный показатель - это отклонение необработан-
ного ("сырого") показателя от среднего значения, деленное на стан-
дартное отклонение распределения:
х- х
где Z - стандартизованный показатель, х - необработанный
("сырой") показатель, х - среднее.
Так, если у нас есть множество "сырых" показателей с х = 50 и
О = 10, то могут быть сделаны преобразования стандартизованного
показателя, представленные в таблице 8.1. Из примера, приведенно-
го в этой таблице, мы можем видеть, что показатели Z имеют среднее
значение 0 и, следовательно, принимают отрицательные или поло-
жительные значения. Чем больше показатель Z , тем дальше от
среднего значения он может находиться, положительные значения
показателя Z будут находиться выше, а отрицательные значения
показателя Z - ниже среднего. Так как преобразование "сырых"
показателей в показатели Z является линейным, то распределение
показателя Z отражает распределение "сырых" показателей. Если
распределение "сырых" показателей нормальное, то Z-показатели
будут изменяться от +3 до -3, и они будут особенно информативны-
ми, потому что пропорции между различными сегментами нормаль-
ной кривой известны. Например, приблизительно 68 % этой кривой
лежит в интервале между средним плюс-минус одно значение стан-
дартного отклонения. Следовательно, показатель Z для 1 может не-
посредственно быть преобразован в проценты; то есть 16 процентов
популяции имеют показатели выше, чем (+1) или ниже (-1). То же
самое может быть сделано для любого показателя Z, определенного
по таблицам нормального распределения.
Таблица 8.1 Z-показатели и
60 -50
10
65 -50
10
50 -50
10
40 -50
10
54 -50
10
У Z-показателей есть два недостатка:
n v,. -.---
-,-- J- XAV-AIKCt:
(1) Как уже говорилось, основное свое значение нормы имеют в
прикладной психологии; а поскольку именно в прикладной психоло-
гии часто полезно обсуждать показатели с испытуемыми и их родст-
венниками, которые могут быть неискушенными в вычислениях,
222
Z-показатели имеют основной недостаток, состоящий в том, что их
среднее значение равно 0, а наивысшее возможное значение равно 3.
Это привело к тому, что разработчики тестов стали применять даль-
нейшие преобразования Z-показателей.
(2) Поскольку ни одно из эмпирических распределений не явля-
ется, по всей вероятности, совершенно нормальным, и очень много
распределений никоим образом не являются нормальными, то одно
полезное свойство Z-показателей утрачивается, а именно то, что мы
не можем вывести из них или увидеть эквивалентные процентили.
Следовательно, чтобы восстановить эту полезную информацию, как
и по ряду других причин, некоторые разработчики тестов предпочи-
тают использовать нормализованные преобразования.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Z-ПОКАЗАТЕЛЯ
Стандартизованное преобразование Z-показателей состоит в сле-
дующем: Zt = А + В Z , где Zt - преобразованный Z-показатель, А
- среднее значение преобразованного распределения, В - стандар-
тное отклонение преобразованного распределения и Z - Z-показа-
тель. Пример (таблица 8.2) прояснит это замечание (будут исполь-
зованы данные из таблицы 8.1 ).
Таблица 8.2 "Сырые" показатели, Z-показатели и преобразованные Z-показатели
"Сырые" показателиВычислениеZВычислениеZt
6060 -501.0Zt=100+1 X 10 =110
10
6565-501.5Zt==100+1,5 X 10 =115
10
5050 -500Zt==100 +0 X 10 =100
10
4040-50-1.0Zt== 100-1 Xl0=90
10
5454-500.4Zt==100 +0,4 X 10 =104
10
"Сырой" показатель: х -50,0~ 10. Преобразованный Z-показатель х- 100, (7- !0
Шаги вычислений для показателей Z и Zf:
(1) Вычислите среднее и стандартное отклонение показателей.
(2) Представьте каждый показатель как отклонение от среднего:
х -х.
Есть и другие, не менее ее существенные недостатки Z-показателей:
- наличие отрицательных значений;
- необходимость дробных значений;
- слишком малое количество целых позиций шкалы Z (Прим.перев.)
223
(3) Поделите значение из шага (2) на стандартное отклонение:
Z-показатель.
(4) Вычислите произведение каждого Z-показателя на требуемое
стандартное отклонение для преобразуемого распределения.
(5) Сложите значение, полученное на шаге (4), с требуемым сред-
ним: Zt.
При конструировании тестов обычно производится преобразова-
ние Z-показателей к распределению со средним значением х = 50 и
стандартным отклонением о= 10. В этом случае если распределение
приближается к нормальному, показатели будут изменяться от 80 до
20.
Таким образом, если мы хотим получить для наших тестов нормы
этого вида, то преобразуем наше множество нормативных показате-
лей в Zt -показатели со средними, равными 50 и о= 10. Пользователи
тестов, следовательно, могут взять "сырые" показатели своих испы-
туемых и выразить их в виде Zt -показателей. Преобразованные Z-
показатели такого вида просты для понимания, и в тех случаях, когда
распределения показателей тестов аппроксимируют нормальное рас-
пределение, они могут быть быстро проинтерпретированы в терми-
нах процентилей. Такие показатели, конечно, пригодны для статис-
тического анализа.
Еще одним преимуществом стандартизованных показателей яв-
ляется то, что стандартизованные показатели сравнимы; так, значе-
ние показателя Z , равное 1, представляет результат выполнения
любого теста, находящийся на расстоянии, равном одному значению
стандартного отклонения, от среднего. Аналогично, если для батареи
тестов используется некоторый преобразованный стандартизован-
ный показатель с одинаковыми значениями средних и стандартных
отклонений, то можно непосредственно сравнивать показатели, по-
лучаемые по любым тестам батареи. С моей точки зрения, для тестов
с распределением, если не нормальным, то по крайней мере симмет-
ричным , преобразованные Z-показатели со Средним значением
х = 50 и со стандартным отклонением (7 == 10 являются точной,
значимой нормой.
НОРМАЛИЗОВАННЫЕ СТАНДАРТНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ
Иногда необходимо получить нормальное распределение показа-
телей (например, если это предполагается по теоретическим основа-
ниям, как в тестах интеллекта).
Шаги вычисления нормализованных стандартных показателей:
Наиболее широко применяемые масштабы шкал:
fQ стандартный (х-100, (7" 15), Т-показатели (7-50, ff" 10).
224
(1) Вычислите кумулятивную пропорцию (cumulative proportion
- CP ) для каждого "сырого" показателя.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
этим причинам, вместе со статистическими ограничениями, их ис-
пользование не рекомендуется.
Различные типы стандартных показателей
Наилучший метод для представления норм - в виде стандартизо-
ванных показателей. Существует несколько типов стандартизован-
ных показателей, которые, как мы увидим, в общем подобны. Они
описаны ниже.
Z-ПОКАЗАТЕЛИ
Стандартизованный показатель - это отклонение необработан-
ного ("сырого") показателя от среднего значения, деленное на стан-
дартное отклонение распределения:
х- х
где Z - стандартизованный показатель, х - необработанный
("сырой") показатель, х - среднее.
Так, если у нас есть множество "сырых" показателей с х = 50 и
О = 10, то могут быть сделаны преобразования стандартизованного
показателя, представленные в таблице 8.1. Из примера, приведенно-
го в этой таблице, мы можем видеть, что показатели Z имеют среднее
значение 0 и, следовательно, принимают отрицательные или поло-
жительные значения. Чем больше показатель Z , тем дальше от
среднего значения он может находиться, положительные значения
показателя Z будут находиться выше, а отрицательные значения
показателя Z - ниже среднего. Так как преобразование "сырых"
показателей в показатели Z является линейным, то распределение
показателя Z отражает распределение "сырых" показателей. Если
распределение "сырых" показателей нормальное, то Z-показатели
будут изменяться от +3 до -3, и они будут особенно информативны-
ми, потому что пропорции между различными сегментами нормаль-
ной кривой известны. Например, приблизительно 68 % этой кривой
лежит в интервале между средним плюс-минус одно значение стан-
дартного отклонения. Следовательно, показатель Z для 1 может не-
посредственно быть преобразован в проценты; то есть 16 процентов
популяции имеют показатели выше, чем (+1) или ниже (-1). То же
самое может быть сделано для любого показателя Z, определенного
по таблицам нормального распределения.
Таблица 8.1 Z-показатели и
60 -50
10
65 -50
10
50 -50
10
40 -50
10
54 -50
10
У Z-показателей есть два недостатка:
n v,. -.---
-,-- J- XAV-AIKCt:
(1) Как уже говорилось, основное свое значение нормы имеют в
прикладной психологии; а поскольку именно в прикладной психоло-
гии часто полезно обсуждать показатели с испытуемыми и их родст-
венниками, которые могут быть неискушенными в вычислениях,
222
Z-показатели имеют основной недостаток, состоящий в том, что их
среднее значение равно 0, а наивысшее возможное значение равно 3.
Это привело к тому, что разработчики тестов стали применять даль-
нейшие преобразования Z-показателей.
(2) Поскольку ни одно из эмпирических распределений не явля-
ется, по всей вероятности, совершенно нормальным, и очень много
распределений никоим образом не являются нормальными, то одно
полезное свойство Z-показателей утрачивается, а именно то, что мы
не можем вывести из них или увидеть эквивалентные процентили.
Следовательно, чтобы восстановить эту полезную информацию, как
и по ряду других причин, некоторые разработчики тестов предпочи-
тают использовать нормализованные преобразования.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Z-ПОКАЗАТЕЛЯ
Стандартизованное преобразование Z-показателей состоит в сле-
дующем: Zt = А + В Z , где Zt - преобразованный Z-показатель, А
- среднее значение преобразованного распределения, В - стандар-
тное отклонение преобразованного распределения и Z - Z-показа-
тель. Пример (таблица 8.2) прояснит это замечание (будут исполь-
зованы данные из таблицы 8.1 ).
Таблица 8.2 "Сырые" показатели, Z-показатели и преобразованные Z-показатели
"Сырые" показателиВычислениеZВычислениеZt
6060 -501.0Zt=100+1 X 10 =110
10
6565-501.5Zt==100+1,5 X 10 =115
10
5050 -500Zt==100 +0 X 10 =100
10
4040-50-1.0Zt== 100-1 Xl0=90
10
5454-500.4Zt==100 +0,4 X 10 =104
10
"Сырой" показатель: х -50,0~ 10. Преобразованный Z-показатель х- 100, (7- !0
Шаги вычислений для показателей Z и Zf:
(1) Вычислите среднее и стандартное отклонение показателей.
(2) Представьте каждый показатель как отклонение от среднего:
х -х.
Есть и другие, не менее ее существенные недостатки Z-показателей:
- наличие отрицательных значений;
- необходимость дробных значений;
- слишком малое количество целых позиций шкалы Z (Прим.перев.)
223
(3) Поделите значение из шага (2) на стандартное отклонение:
Z-показатель.
(4) Вычислите произведение каждого Z-показателя на требуемое
стандартное отклонение для преобразуемого распределения.
(5) Сложите значение, полученное на шаге (4), с требуемым сред-
ним: Zt.
При конструировании тестов обычно производится преобразова-
ние Z-показателей к распределению со средним значением х = 50 и
стандартным отклонением о= 10. В этом случае если распределение
приближается к нормальному, показатели будут изменяться от 80 до
20.
Таким образом, если мы хотим получить для наших тестов нормы
этого вида, то преобразуем наше множество нормативных показате-
лей в Zt -показатели со средними, равными 50 и о= 10. Пользователи
тестов, следовательно, могут взять "сырые" показатели своих испы-
туемых и выразить их в виде Zt -показателей. Преобразованные Z-
показатели такого вида просты для понимания, и в тех случаях, когда
распределения показателей тестов аппроксимируют нормальное рас-
пределение, они могут быть быстро проинтерпретированы в терми-
нах процентилей. Такие показатели, конечно, пригодны для статис-
тического анализа.
Еще одним преимуществом стандартизованных показателей яв-
ляется то, что стандартизованные показатели сравнимы; так, значе-
ние показателя Z , равное 1, представляет результат выполнения
любого теста, находящийся на расстоянии, равном одному значению
стандартного отклонения, от среднего. Аналогично, если для батареи
тестов используется некоторый преобразованный стандартизован-
ный показатель с одинаковыми значениями средних и стандартных
отклонений, то можно непосредственно сравнивать показатели, по-
лучаемые по любым тестам батареи. С моей точки зрения, для тестов
с распределением, если не нормальным, то по крайней мере симмет-
ричным , преобразованные Z-показатели со Средним значением
х = 50 и со стандартным отклонением (7 == 10 являются точной,
значимой нормой.
НОРМАЛИЗОВАННЫЕ СТАНДАРТНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ
Иногда необходимо получить нормальное распределение показа-
телей (например, если это предполагается по теоретическим основа-
ниям, как в тестах интеллекта).
Шаги вычисления нормализованных стандартных показателей:
Наиболее широко применяемые масштабы шкал:
fQ стандартный (х-100, (7" 15), Т-показатели (7-50, ff" 10).
224
(1) Вычислите кумулятивную пропорцию (cumulative proportion
- CP ) для каждого "сырого" показателя.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96