3. Разбиение множества на непересекающиеся подмножества, когда:
а) исходное множество ограничено и его подмножества также ограничены;
б) исходное множество неограниченно и его подмножества также неограниченны.
4. Раздвоение размытых множеств. Пусть размытое множество описывается
градусным распределением. Тогда процесс его раздвоения можно представить
графически (рис. 2). Процесс происходит непрерывно, но может быть
зафиксирована граница перехода от одного в два.
Б. Раздвоение геометрических фигур. Плоскость можно раздвоить на области
двумя способами. Любая прямая делить плоскость на две полуплоскости.
Замкнутая линия делит плоскость на ограниченную и неограниченную области
(рис. 3, А). В результате разделения плоскости прямой линией
получаем две полуплоскости, при втором способе деления противоположность
состоит в ограниченности и неограниченности полученных частей.
-----------Картинка стр. 32-------
Рис. 3. Раздвоение геометрических объектов.
А - плоскости; Б - ограниченной области плоскости; В
- прямоугольника; Г - кольца.
---------------------------
Теперь рассмотрим раздвоение ограниченной области плоскости. Оно может
происходить либо при появлении внутренней границы, либо при
"исчезновении" части части внешней границы, либо путем раздвоения
границы при сохранении целой области (рис. 3, Б). В первом случае
получаем дискретно-непрерывный объект (ДНО), во втором - дискретный (ДО),
в третьем - непрерывно-дискретный (НДО). В результате разделения замкнутой
области получены противоположности как внешнего (ДНО и ДО) и внутреннего
(НДО).
Рассмотрим на примерах раздвоения прямоугольника. Возьмем квадрат и
разрежем его пополам по линии, соединяющей середины противоположных его
сторон (рис. 3, В). В результате получаем прямоугольник с отношением
сторон 2 : 1 или 1 : 2. Назовем такое преобразование раздвоением,
противоположное ему - преобразованием удвоения. Если бы мы взяли не
квадрат, а прямоугольник, то результат указанного преобразования зависел бы
от того. относительно какой из двух средних линий прямоугольника
произведено преобразование. Если это существенно, то в определении
преобразования необходимо внести уточнение.
Однозначно определенное преобразование прямоугольника можно продолжать. В
результате мы получаем множество прямоугольников. Что является инвариантом
такого преобразования?
Уточним определение преобразования. Будем резать прямоугольник по короткой
средней линии. Если исходным прямоугольником был квадрат, то в результате
серии последовательных преобразований мы получим ряд прямоугольников с
такими отношениями сторон: 1 : 1, 1 : 2, 1 : 1, 1 : 2, и т. д.
Определим такие независимые характеристики прямоугольников, как площадь и
пропорции (отношения сторон). В нашем случае имеем отношение сторон для:
площади: - 1, 1/2, 1/4, 1/8, ...
пропорции - 1/1, 1/2, 1/1, 1/2, ...
Теперь изменим преобразование - будем делить прямоугольники по большей
средней линии. Тогда получим такие ряды чисел отношений сторон для:
площади - 1, 1/2, 1/4, 1/8, ...
пропорции - 1/1, 1/2, 1/4, 1/8, ...
Нетрудно видеть, что при данном преобразовании отношение величины пропорции
к величине площади постоянно и равно единице. Это отношение есть инвариант
последнего преобразования.
Проанализируем более подробно преобразование раздвоения квадрата на две
части. Введем ограничение: пусть требуется разрезать квадрат на две
равновеликие части одним прямолинейным отрезком так, чтобы эту операцию
можно было повторять сколько угодно раз с получившимися частями. При таком
определении преобразования возможны его различные варианты: 1) квадрат
разрезаем на два треугольника - изменяется число вершин фигуры,
нарушающая равенство и параллельность сторон; 2) квадрат разделяется на две
трапеции (неправильных четырехугольника) - сохраняется число углов,
нарушается параллельность и равенство сторон; 3) квадрат разрезается на два
прямоугольника - сохраняется число вершин и параллельность сторон,
нарушается равенство сторон и пропорции фигуры.
Замечание 1. При делении квадрата по меньшей средней линии
получается ряд прямоугольников с пропорциями 1/1, 2/1, 1/1, 2/1, ... Если
за исходный взять прямоугольник с пропорциями 4/3, то при том же
преобразовании получаем ряд прямоугольников с пропорциями 4/3, 3/2, 4/3,
3/2, ... Нетрудно заметить, что произведение двух соседних чисел в каждом
ряду постоянно и в обоих рядах равно двум. То же самое будет верно для
любого исходного прямоугольника. Это не удивительно, так как преобразование
носит характер раздвоения. Здесь интересно другое: существует
один-единственный прямоугольник, пропорции которого при данном
преобразовании не изменяются прямоугольник остается подобным самому себе.
Отсюда следует, что совмещаются два фундаментальных преобразования:
удвоения и подобия. существует удвоение без подобия и подобие без удвоения.
Эти два преобразования объединяются при удвоении и сокращении вдвое по
меньшей мере средней линии прямоугольника с пропорциями 1/ы2.
Замечание 2. Ряды прямоугольников, полученные при данных
преобразованиях, можно рассматривать как временны&е ряды, а инварианты
преобразований, как инварианты сохраняющиеся во времени. Можно также
рассматривать множество прямоугольников, появившихся в результате
преобразований, как одновременно существующие. Тогда инварианты можно
рассматривать как инварианты, существующие на множестве (в пространстве)
многоугольников. В последнем случае это может быть неупорядоченное
множество объектов.
Имеются ли другие геометрические фигуры, остающиеся подобными исходной при
последовательном делении на две части? Да. При делении подобную фигуру (обе
половинки) дает равнобедренный прямоугольный треугольник. Приблизительно
такой же результат получается у кольца: изолированные или вложенные
концентрические кольца, соприкасающиеся внутри или касающиеся извне, либо
ортогонально сцепленные кольца (рис. 3, Г). Любой прямоугольный
треугольник делится на два подобных, но неравных прямоугольника.
В. Раздвоение других математических объектов. Как раздвоение единицы на два
взаимообратных сомножителя можно рассматривать равенство
1=аъ(1/а), где а - любое действительное число. Такое
преобразование неоднозначно. Дополнительные ограничения могут сузить
область допустимых для а значений. При а=*
(*=1,618...) константа золотого отношения 1/*=0,618..., т.
е. взаимообратные числа отличаются на единицу (раздваиваемое число).
Аналогично можно раздвоить единичное преобразование на два взаимо обратных:
Е=АъА"-1", где Е - единичное преобразование, переводящее объект
в самого себя;
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61