В свете вышесказанного это происходит, когда l (которое просто означает число оборотов, совершенных задним колесом) достигает некоего гипотетического значения, при котором in mod l = 0, или, говоря по-человечески, когда некое число, кратное п (такое, как, например, 2n, 3n, 395n или 109 948 368 443n), оказывается в то же время кратным l. Вообще-то это может быть любое из так называемых общих кратных, но с практической точки зрения важно только первое - наименьшее общее кратное, или НОК, поскольку именно оно будет достигнуто первым и вызовет падение цепи.
Если, скажем, у звездочки двадцать зубцов (n = 20), а в цепи сто звеньев (l = 100), то после первого поворота колеса мы имеем С = 20, после двух поворотов С = 40, потом 60, 80 и 100. Однако поскольку мы ищем остаток от деления на 100, значение надо изменить на ноль. Таким образом, после пяти оборотов колеса мы достигли состояния (Q = 0, С = 0) и цепь Тьюринга сваливается. За пять оборотов колеса он проезжает всего десять метров, поэтому при таких значениях l и n велосипед практически бесполезен. Разумеется, все это верно лишь в том случае, если Тьюринг такой дурак, чтобы начать движение из состояния спадения цепи. Если же он начинает крутить педали, когда велосипед находится в состоянии (Q = 0, С = 1), то С принимает значения 21, 41, 61, 81, 1, 21, ... и так до бесконечности, и цепь не свалится никогда. Однако это вырожденное состояние, где «вырожденное» для математика означает «невыносимо скучное». В теории, если Тьюринг будет всякий раз выставлять нужное состояние, прежде чем бросить велосипед на улице, никто не сможет его украсть - цепь свалится через первые же десять метров.
Если же в цепи Тьюринга сто одно звено (l = 101), то после пяти оборотов мы имеем С = 100, а после шести С = 19, тогда
С = 39, 59, 79, 99, 18, 38, 58, 78, 98, 17, 37, 57, 77, 97, 16, 36, 56, 76, 96, 15, 35, 55, 75, 95, 14, 34, 54, 74, 94, 13, 33, 53, 73, 93, 12, 32, 52, 72, 92, 11, 31, 51, 71, 91, 10, 30, 50, 70, 90, 9, 29, 49, 69, 89, 8, 28, 48, 68, 88, 7, 27, 47, 67, 87, 6, 26, 46, 66, 86, 5, 25, 45, 65, 85, 4, 24, 44, 64, 84, 3, 23, 43, 63, 83, 2, 22, 42, 62, 82, 1, 21, 41, 61, 81, 0.
Так что состояние (Q = 0, С = 0) не будет достигнуто и цепь не свалится, пока колесо не совершит сто один оборот. За сто один оборот велосипед Тьюринга успевает проехать по дороге пятую часть километра, что совсем не так плохо. Значит, велосипед работающий. Однако в отличие от вырожденного случая его нельзя привести в такое состояние, чтобы цепь не спадала совсем. Это легко доказать, просмотрев приведенный список значений С и убедившись, что все возможные значения - все числа от одного до ста - в нем присутствуют. Это означает, что с какого бы значения С Тьюринг ни начал крутить педали, рано или поздно он придет к фатальному С = 0 и цепь свалится.
Разница между вырожденным и невырожденным случаем заключена в свойствах использованных чисел. Комбинация (п = 20, l = 101) принципиально отличается от комбинации (п = 20, l = 100). Главная разница в том, что 20 и 101 - «взаимно простые», т. е. у них нет общих делителей. Это означает, что их наименьшее общее кратное, их НОК - большое число и равняется собственно l x n, т. е. 20 x 101 = 2020. А вот НОК ста и двадцати - всего 100. У велосипеда с l = 101 длинный период - он проходит через множество различных состояний, прежде чем вернуться к исходному, а у велосипеда с l = 100 - короткий, всего из нескольких состояний. Предположим, что велосипед Тьюринга - шифромашина, основанная на алфавитной замене, т. е. заменяет каждую из двадцати шести букв английского алфавита какой-то другой буквой. А открытого текста может стать Т шифртекста, В - F, С - М и так дальше до Z. Сам по себе такой шифр до смешного прост, взломать его - детская забава. Однако предположим, что схема замены меняется от буквы к букве. Первая буква открытого текста шифруется с помощью одного алфавита замены, вторая - с помощью другого, третья - с помощью третьего и так далее. Это называется полиалфавитный шифр.
Предположим, что велосипед Тьюринга генерирует свой алфавит для каждого из состояний. Тогда состоянию (Q = 0, С = 0) будет соответствовать, например, такой алфавит замены:
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Q G U W В I Y T F K V N D O H E P X L Z R C A S J M
а состоянию (Q = 180, С = 15) - такой:
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
B O R I X V G Y P F J M T C Q N H A Z U K L D S E W
Никакие две буквы не будут зашифрованы одним и тем же алфавитом замены, пока велосипед не вернется в исходное состояние (Q = 0, С = 0) и цикл не пойдет с начала. То есть это периодическая полиалфавитная система. Теперь, если период у машины короткий, она часто повторяет саму себя и в качестве шифровальной системы тоже годится исключительно для детской забавы. Чем длиннее период (чем больше взаимно простых чисел в него встроено), тем реже используется один и тот же алфавит замены и тем выше устойчивость шифра.
Трехдисковая «Энигма» - система именно такого типа (то есть периодическая полиалфавитная). Ее барабаны подобно приводу в велосипеде Тьюринга заключают в себе циклы в циклах. Ее период равен 17 576, то есть алфавит замены, которым зашифрована первая буква сообщения, не повторится до 17 577-й буквы. Однако в «Акуле» немцы добавили четвертый барабан, увеличив период до 456 976. В начале каждого сообщения диски ставятся в различные, случайным образом выбранные исходные положения. Поскольку ни в одном немецком сообщении нет 450 000 знаков, «Энигма» никогда не повторяет один и тот же алфавит замены в пределах отдельного сообщения. Вот почему немцы считают ее неуязвимой.
Над головами пролетает звено транспортных самолетов, направляясь, по всей видимости, к аэропорту в Бедфорде. Самолеты издают странно музыкальный диатонический гул, словно волынки, играющие две мелодии разом. Это напоминает Лоуренсу об еще одном феномене, связанном с велосипедным колесом и шифрмашиной «Энигма».
- Ты знаешь, почему самолеты так гудят? - спрашивает он.
- Нет, если задуматься. - Тьюринг снова сдвигает противогаз на лоб. Челюсть у него немного отвисла, глаза смотрят в разные стороны. Уотерхауз его зацепил.
- Я заметил в Перл-Харборе. У самолета - звездообразный двигатель, - говорит Лоуренс. - Соответственно, в нем должно быть нечетное число цилиндров.
- Как одно из другого следует?
- Если число будет четным, цилиндры окажутся один напротив другого, развернутые на сто восемьдесят градусов, а это не работает механически.
- Почему?
- Не помню. Не работает, и все.
Алан поднимает брови. Он явно не убежден.
- Это как-то связано с кривошипами, - защищается Уотерхауз.
- Не уверен, что соглашусь.
- Просто допусти. Считай это граничным условием, - говорит Уотерхауз. Однако Алан уже ушел в свои мысли - наверное, изобретает звездообразный двигатель с четным числом цилиндров.
- В любом случае, если посмотришь, у них у всех цилиндров нечетное число, - продолжает Лоуренс. - Поэтому шум выхлопа накладывается на гудение винта и получается двухтоновой звук.
Алан снова садится на велосипед.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135
Если, скажем, у звездочки двадцать зубцов (n = 20), а в цепи сто звеньев (l = 100), то после первого поворота колеса мы имеем С = 20, после двух поворотов С = 40, потом 60, 80 и 100. Однако поскольку мы ищем остаток от деления на 100, значение надо изменить на ноль. Таким образом, после пяти оборотов колеса мы достигли состояния (Q = 0, С = 0) и цепь Тьюринга сваливается. За пять оборотов колеса он проезжает всего десять метров, поэтому при таких значениях l и n велосипед практически бесполезен. Разумеется, все это верно лишь в том случае, если Тьюринг такой дурак, чтобы начать движение из состояния спадения цепи. Если же он начинает крутить педали, когда велосипед находится в состоянии (Q = 0, С = 1), то С принимает значения 21, 41, 61, 81, 1, 21, ... и так до бесконечности, и цепь не свалится никогда. Однако это вырожденное состояние, где «вырожденное» для математика означает «невыносимо скучное». В теории, если Тьюринг будет всякий раз выставлять нужное состояние, прежде чем бросить велосипед на улице, никто не сможет его украсть - цепь свалится через первые же десять метров.
Если же в цепи Тьюринга сто одно звено (l = 101), то после пяти оборотов мы имеем С = 100, а после шести С = 19, тогда
С = 39, 59, 79, 99, 18, 38, 58, 78, 98, 17, 37, 57, 77, 97, 16, 36, 56, 76, 96, 15, 35, 55, 75, 95, 14, 34, 54, 74, 94, 13, 33, 53, 73, 93, 12, 32, 52, 72, 92, 11, 31, 51, 71, 91, 10, 30, 50, 70, 90, 9, 29, 49, 69, 89, 8, 28, 48, 68, 88, 7, 27, 47, 67, 87, 6, 26, 46, 66, 86, 5, 25, 45, 65, 85, 4, 24, 44, 64, 84, 3, 23, 43, 63, 83, 2, 22, 42, 62, 82, 1, 21, 41, 61, 81, 0.
Так что состояние (Q = 0, С = 0) не будет достигнуто и цепь не свалится, пока колесо не совершит сто один оборот. За сто один оборот велосипед Тьюринга успевает проехать по дороге пятую часть километра, что совсем не так плохо. Значит, велосипед работающий. Однако в отличие от вырожденного случая его нельзя привести в такое состояние, чтобы цепь не спадала совсем. Это легко доказать, просмотрев приведенный список значений С и убедившись, что все возможные значения - все числа от одного до ста - в нем присутствуют. Это означает, что с какого бы значения С Тьюринг ни начал крутить педали, рано или поздно он придет к фатальному С = 0 и цепь свалится.
Разница между вырожденным и невырожденным случаем заключена в свойствах использованных чисел. Комбинация (п = 20, l = 101) принципиально отличается от комбинации (п = 20, l = 100). Главная разница в том, что 20 и 101 - «взаимно простые», т. е. у них нет общих делителей. Это означает, что их наименьшее общее кратное, их НОК - большое число и равняется собственно l x n, т. е. 20 x 101 = 2020. А вот НОК ста и двадцати - всего 100. У велосипеда с l = 101 длинный период - он проходит через множество различных состояний, прежде чем вернуться к исходному, а у велосипеда с l = 100 - короткий, всего из нескольких состояний. Предположим, что велосипед Тьюринга - шифромашина, основанная на алфавитной замене, т. е. заменяет каждую из двадцати шести букв английского алфавита какой-то другой буквой. А открытого текста может стать Т шифртекста, В - F, С - М и так дальше до Z. Сам по себе такой шифр до смешного прост, взломать его - детская забава. Однако предположим, что схема замены меняется от буквы к букве. Первая буква открытого текста шифруется с помощью одного алфавита замены, вторая - с помощью другого, третья - с помощью третьего и так далее. Это называется полиалфавитный шифр.
Предположим, что велосипед Тьюринга генерирует свой алфавит для каждого из состояний. Тогда состоянию (Q = 0, С = 0) будет соответствовать, например, такой алфавит замены:
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Q G U W В I Y T F K V N D O H E P X L Z R C A S J M
а состоянию (Q = 180, С = 15) - такой:
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
B O R I X V G Y P F J M T C Q N H A Z U K L D S E W
Никакие две буквы не будут зашифрованы одним и тем же алфавитом замены, пока велосипед не вернется в исходное состояние (Q = 0, С = 0) и цикл не пойдет с начала. То есть это периодическая полиалфавитная система. Теперь, если период у машины короткий, она часто повторяет саму себя и в качестве шифровальной системы тоже годится исключительно для детской забавы. Чем длиннее период (чем больше взаимно простых чисел в него встроено), тем реже используется один и тот же алфавит замены и тем выше устойчивость шифра.
Трехдисковая «Энигма» - система именно такого типа (то есть периодическая полиалфавитная). Ее барабаны подобно приводу в велосипеде Тьюринга заключают в себе циклы в циклах. Ее период равен 17 576, то есть алфавит замены, которым зашифрована первая буква сообщения, не повторится до 17 577-й буквы. Однако в «Акуле» немцы добавили четвертый барабан, увеличив период до 456 976. В начале каждого сообщения диски ставятся в различные, случайным образом выбранные исходные положения. Поскольку ни в одном немецком сообщении нет 450 000 знаков, «Энигма» никогда не повторяет один и тот же алфавит замены в пределах отдельного сообщения. Вот почему немцы считают ее неуязвимой.
Над головами пролетает звено транспортных самолетов, направляясь, по всей видимости, к аэропорту в Бедфорде. Самолеты издают странно музыкальный диатонический гул, словно волынки, играющие две мелодии разом. Это напоминает Лоуренсу об еще одном феномене, связанном с велосипедным колесом и шифрмашиной «Энигма».
- Ты знаешь, почему самолеты так гудят? - спрашивает он.
- Нет, если задуматься. - Тьюринг снова сдвигает противогаз на лоб. Челюсть у него немного отвисла, глаза смотрят в разные стороны. Уотерхауз его зацепил.
- Я заметил в Перл-Харборе. У самолета - звездообразный двигатель, - говорит Лоуренс. - Соответственно, в нем должно быть нечетное число цилиндров.
- Как одно из другого следует?
- Если число будет четным, цилиндры окажутся один напротив другого, развернутые на сто восемьдесят градусов, а это не работает механически.
- Почему?
- Не помню. Не работает, и все.
Алан поднимает брови. Он явно не убежден.
- Это как-то связано с кривошипами, - защищается Уотерхауз.
- Не уверен, что соглашусь.
- Просто допусти. Считай это граничным условием, - говорит Уотерхауз. Однако Алан уже ушел в свои мысли - наверное, изобретает звездообразный двигатель с четным числом цилиндров.
- В любом случае, если посмотришь, у них у всех цилиндров нечетное число, - продолжает Лоуренс. - Поэтому шум выхлопа накладывается на гудение винта и получается двухтоновой звук.
Алан снова садится на велосипед.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135