И вот почему я тебе это говорю, Лоуренс... Эй, Лоуренс! Проснись!
- М-м-м?
- Руди, возьми палку - да, эту - и следи за Лоуренсом. Когда глаза у него начнут вот так стекленеть, тыкай его в бок.
- Мы не в английской школе, тут так нельзя.
- Я слушаю, - сказал Лоуренс.
- Из «ОМ» следует абсолютно радикальная вещь - все в математике можно выразить определенной последовательностью символов.
- Лейбниц сказал это много раньше! - возмутился Руди.
- Ну, Лейбниц предложил символы, которые мы используем в дифференциальном исчислении, но...
- Я не про это!
- И он изобрел матрицы, но...
- И не про это тоже!
- И он немного занимался двоичной системой, но...
- Это софсем другое!
- Ладно, Руди, говори, о чем ты.
- Лейбниц изобрел базовый алфавит - записал набор символов для логических выражений.
- Ну, я не знал, что в сферу интересов герра Лейбница входила формальная логика, но...
- А как же! Он хотел сделать то же, что Рассел и Уайтхед, только не для одной математики, а для всего на сфете!
- Поскольку ты, Руди, похоже, единственный на планете знаешь об этом начинании Лейбница, можем ли мы допустить, что его затея не увенчалась успехом?
- Ты можешь допускать все, что тебе угодно, Алан, - ответил Руди, - но я - математик и ничего не допускаю.
Алан оскорбленно вздохнул и наградил Руди многозначительным взглядом, который, как догадывался Уотерхауз, означал «я тебе это припомню».
- Если мне позволят продолжить, - сказал он, - я вообще-то хотел, чтобы вы согласились вот с чем: все в математике можно выразить последовательностью символов, - он взял палку, которой надо было тыкать Лоуренса, и начал писать на земле что-то вроде + = 3) v1?, - и мне глубоко безразлично, будут это символы Рассела, или Лейбница, или гексаграммы И-Цзина.
- Лейбниц восхищался И-Цзином! - страстно воскликнул Руди.
- Помолчи пока про Лейбница, Руди. Мы с тобой едем в поезде, сидим в вагоне-ресторане, мило болтаем, а этот поезд со страшной силой тянут локомотивы «Бертран Рассел», «Риман», «Эйлер» и другие. А наш друг Лоуренс бежит рядом с поездом, пытаясь от нас не отстать - не обязательно потому, что мы умнее, просто он - деревенский, и у него нет билета. И я, Руди, просто высовываюсь в окошко и пытаюсь втащить его в гребаный поезд, чтобы мы втроем могли мило болтать о математике, не слушая все время, как он пыхтит и отдувается.
- Ладно, Алан.
- Если ты не будешь перебивать, я скоро закончу.
- Но есть еще локомотив по имени Лейбниц.
- Ты считаешь, что я не отдаю должного немцам? Внимание, сейчас я упомяну человека с немецкой фамилией.
- Кто же это? Фон Тьюринг? - съязвил Руди.
- Фон Тьюринг будет потом. Вообще-то я имел в виду Гёделя.
- Какой он немец! Он австрияк!
- Боюсь, это теперь одно и то же.
- Не я придумал аншлюс, и нечего на меня так смотреть. Я ненавижу Гитлера.
- Про Гёделя я слышал, - вставил Уотерхауз, чтобы охладить спор. - Но можно немножко назад?
- Конечно, Лоуренс.
- Зачем это надо? Ну то, что сделал Рассел? Что не так в математике? Я хочу сказать, два плюс два - четыре, верно?
Алан взял две бутылочные пробки и положил на землю.
- Два. Раз-два. Плюс... - Он положил рядом еще две. - Еще два. Раз-два. Равняется четырем. Раз-два-три-четыре.
- Что в этом плохого? - спросил Лоуренс.
- Однако, Лоуренс, когда ты на самом деле занимаешься математикой, абстрактно, ты ведь не считаешь пробки?
- Я вообще ничего не считаю.
Руди объявил:
- Очень современный взгляд.
- В смысле?
- Долгое время подразумевалось, - сказал Алан, - что математика - своего рода физика пробок. Что любую математическую операцию, которую ты выполняешь на бумаге, как бы ни была она сложна, можно свести - по крайней мере, в теории - к перекладыванию реального счетного материала вроде пробок в реальном мире.
- Нельзя же взять две целые одну десятую пробки.
- Ладно, ладно, пусть будут пробки для целых чисел, а для таких, как две целые одна десятая - физические меры, например длина этой палки. - Алан положил палку рядом с пробками.
- Как насчет «?»? Нельзя отпилить палку длиной ровно «?» дюймов.
- «?» - из геометрии. Та же история, - вставил Руди.
- Да, считалось, что Евклидова геометрия на самом деле своего рода физика, что его прямые и все такое описывают свойства физического мира. Но... знаешь Эйнштейна?
- Я не очень запоминаю фамилии.
- Седой, с большими усами.
- А, да, - мрачно ответил Лоуренс. - Я подходил к нему с вопросом про шестеренки. Он сказал, что опаздывает на встречу.
- Он придумал общую теорию относительности - своего рода практическое приложение, но не Евклидовой, а Римановой геометрии...
- Тот же Риман, что твоя дзета-функция?
- Тот же Риман, другое направление. Не уводи нас в сторону, Лоуренс...
- Риман показал, что существует много-много геометрий, которые, не являясь Евклидовыми, в то же время внутренне непротиворечивы, - объяснил Руди.
- Ладно, давайте снова к «ОМ», - сказал Лоуренс.
- Да! Рассел и Уайтхед. Итак, когда математики начали играть со всякими корнями из минус единицы и кватернионами, это было уже не то, что можно перевести в палки и пробки. И все же они по-прежнему получали верные результаты.
- По крайней мере внутренне непротиворечивые, - уточнил Руди.
- О'кей. Значит, математика - больше, чем физика пробок.
- Так нам представляется, Лоуренс, но возникает вопрос: математика по правде или это только игра в символы? Другими словами: мы открываем Истину или просто балуемся?
- Она должна быть по правде, потому что, когда прикладываешь ее к физике, она работает! Я слышал про общую теорию относительности и знаю, что она подтверждена экспериментами.
- Большая часть математики не поддается экспериментальной проверке, - сказал Руди.
- Вся идея в том, чтобы укрепить связь с физикой, - произнес Алан.
- И при этом не баловаться.
- И для этого написаны «ОМ»?
- Рассел и Уайтхед свели все математические понятия к таким жутко простым вещам, как множества. Отсюда они перешли к целым числам и так далее.
- Но как можно свести к множествам, например, число «?»?
- Нельзя, - сказал Алан, - зато его можно выразить цепочкой цифр: три запятая один четыре один пять девять и так далее.
- То есть через целые числа, - сказал Руди.
- Нечестно! Само «?» - не целое!
- Но можно вычислить цифры «?», одну за другой, по некой формуле. И можно написать формулу вроде такой!
Алан нацарапал на земле:
- Я использовал ряд Лейбница, чтобы утешить нашего друга. Видишь, Лоуренс? Это цепочка символов.
- Цепочку символов вижу, - нехотя согласился Лоуренс.
- Можно идти дальше? Гёдель, всего несколько лет назад, сказал: «Послушайте! Вы согласны, что все в математике просто цепочка символов? Тогда вот!» И показал, что любую цепочку символов - вроде этой - можно превратить в целые числа.
- Как?
- Ничего сложного, Лоуренс, простой шифр.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135
- М-м-м?
- Руди, возьми палку - да, эту - и следи за Лоуренсом. Когда глаза у него начнут вот так стекленеть, тыкай его в бок.
- Мы не в английской школе, тут так нельзя.
- Я слушаю, - сказал Лоуренс.
- Из «ОМ» следует абсолютно радикальная вещь - все в математике можно выразить определенной последовательностью символов.
- Лейбниц сказал это много раньше! - возмутился Руди.
- Ну, Лейбниц предложил символы, которые мы используем в дифференциальном исчислении, но...
- Я не про это!
- И он изобрел матрицы, но...
- И не про это тоже!
- И он немного занимался двоичной системой, но...
- Это софсем другое!
- Ладно, Руди, говори, о чем ты.
- Лейбниц изобрел базовый алфавит - записал набор символов для логических выражений.
- Ну, я не знал, что в сферу интересов герра Лейбница входила формальная логика, но...
- А как же! Он хотел сделать то же, что Рассел и Уайтхед, только не для одной математики, а для всего на сфете!
- Поскольку ты, Руди, похоже, единственный на планете знаешь об этом начинании Лейбница, можем ли мы допустить, что его затея не увенчалась успехом?
- Ты можешь допускать все, что тебе угодно, Алан, - ответил Руди, - но я - математик и ничего не допускаю.
Алан оскорбленно вздохнул и наградил Руди многозначительным взглядом, который, как догадывался Уотерхауз, означал «я тебе это припомню».
- Если мне позволят продолжить, - сказал он, - я вообще-то хотел, чтобы вы согласились вот с чем: все в математике можно выразить последовательностью символов, - он взял палку, которой надо было тыкать Лоуренса, и начал писать на земле что-то вроде + = 3) v1?, - и мне глубоко безразлично, будут это символы Рассела, или Лейбница, или гексаграммы И-Цзина.
- Лейбниц восхищался И-Цзином! - страстно воскликнул Руди.
- Помолчи пока про Лейбница, Руди. Мы с тобой едем в поезде, сидим в вагоне-ресторане, мило болтаем, а этот поезд со страшной силой тянут локомотивы «Бертран Рассел», «Риман», «Эйлер» и другие. А наш друг Лоуренс бежит рядом с поездом, пытаясь от нас не отстать - не обязательно потому, что мы умнее, просто он - деревенский, и у него нет билета. И я, Руди, просто высовываюсь в окошко и пытаюсь втащить его в гребаный поезд, чтобы мы втроем могли мило болтать о математике, не слушая все время, как он пыхтит и отдувается.
- Ладно, Алан.
- Если ты не будешь перебивать, я скоро закончу.
- Но есть еще локомотив по имени Лейбниц.
- Ты считаешь, что я не отдаю должного немцам? Внимание, сейчас я упомяну человека с немецкой фамилией.
- Кто же это? Фон Тьюринг? - съязвил Руди.
- Фон Тьюринг будет потом. Вообще-то я имел в виду Гёделя.
- Какой он немец! Он австрияк!
- Боюсь, это теперь одно и то же.
- Не я придумал аншлюс, и нечего на меня так смотреть. Я ненавижу Гитлера.
- Про Гёделя я слышал, - вставил Уотерхауз, чтобы охладить спор. - Но можно немножко назад?
- Конечно, Лоуренс.
- Зачем это надо? Ну то, что сделал Рассел? Что не так в математике? Я хочу сказать, два плюс два - четыре, верно?
Алан взял две бутылочные пробки и положил на землю.
- Два. Раз-два. Плюс... - Он положил рядом еще две. - Еще два. Раз-два. Равняется четырем. Раз-два-три-четыре.
- Что в этом плохого? - спросил Лоуренс.
- Однако, Лоуренс, когда ты на самом деле занимаешься математикой, абстрактно, ты ведь не считаешь пробки?
- Я вообще ничего не считаю.
Руди объявил:
- Очень современный взгляд.
- В смысле?
- Долгое время подразумевалось, - сказал Алан, - что математика - своего рода физика пробок. Что любую математическую операцию, которую ты выполняешь на бумаге, как бы ни была она сложна, можно свести - по крайней мере, в теории - к перекладыванию реального счетного материала вроде пробок в реальном мире.
- Нельзя же взять две целые одну десятую пробки.
- Ладно, ладно, пусть будут пробки для целых чисел, а для таких, как две целые одна десятая - физические меры, например длина этой палки. - Алан положил палку рядом с пробками.
- Как насчет «?»? Нельзя отпилить палку длиной ровно «?» дюймов.
- «?» - из геометрии. Та же история, - вставил Руди.
- Да, считалось, что Евклидова геометрия на самом деле своего рода физика, что его прямые и все такое описывают свойства физического мира. Но... знаешь Эйнштейна?
- Я не очень запоминаю фамилии.
- Седой, с большими усами.
- А, да, - мрачно ответил Лоуренс. - Я подходил к нему с вопросом про шестеренки. Он сказал, что опаздывает на встречу.
- Он придумал общую теорию относительности - своего рода практическое приложение, но не Евклидовой, а Римановой геометрии...
- Тот же Риман, что твоя дзета-функция?
- Тот же Риман, другое направление. Не уводи нас в сторону, Лоуренс...
- Риман показал, что существует много-много геометрий, которые, не являясь Евклидовыми, в то же время внутренне непротиворечивы, - объяснил Руди.
- Ладно, давайте снова к «ОМ», - сказал Лоуренс.
- Да! Рассел и Уайтхед. Итак, когда математики начали играть со всякими корнями из минус единицы и кватернионами, это было уже не то, что можно перевести в палки и пробки. И все же они по-прежнему получали верные результаты.
- По крайней мере внутренне непротиворечивые, - уточнил Руди.
- О'кей. Значит, математика - больше, чем физика пробок.
- Так нам представляется, Лоуренс, но возникает вопрос: математика по правде или это только игра в символы? Другими словами: мы открываем Истину или просто балуемся?
- Она должна быть по правде, потому что, когда прикладываешь ее к физике, она работает! Я слышал про общую теорию относительности и знаю, что она подтверждена экспериментами.
- Большая часть математики не поддается экспериментальной проверке, - сказал Руди.
- Вся идея в том, чтобы укрепить связь с физикой, - произнес Алан.
- И при этом не баловаться.
- И для этого написаны «ОМ»?
- Рассел и Уайтхед свели все математические понятия к таким жутко простым вещам, как множества. Отсюда они перешли к целым числам и так далее.
- Но как можно свести к множествам, например, число «?»?
- Нельзя, - сказал Алан, - зато его можно выразить цепочкой цифр: три запятая один четыре один пять девять и так далее.
- То есть через целые числа, - сказал Руди.
- Нечестно! Само «?» - не целое!
- Но можно вычислить цифры «?», одну за другой, по некой формуле. И можно написать формулу вроде такой!
Алан нацарапал на земле:
- Я использовал ряд Лейбница, чтобы утешить нашего друга. Видишь, Лоуренс? Это цепочка символов.
- Цепочку символов вижу, - нехотя согласился Лоуренс.
- Можно идти дальше? Гёдель, всего несколько лет назад, сказал: «Послушайте! Вы согласны, что все в математике просто цепочка символов? Тогда вот!» И показал, что любую цепочку символов - вроде этой - можно превратить в целые числа.
- Как?
- Ничего сложного, Лоуренс, простой шифр.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135