Примеры с несложными вычисления-
ми приводятся в нем лишь для иллюстрации и не предназначены для
обучения статистическим методам. Подробности вычислений и кон-
кретные процедуры решения прикладных задач читатель зайдет в любом
учебнике по статистике для психологов и педагогов.
ОСНОВНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
Главная цель статистического метода-представить количественные
данные в систематизированной и сжатой форме с тем, чтобы облегчить
их понимание Колонка из 1000 тестовых показателей может произво-
дить внушительное, даже ошеломляющее впечатление. Но в таком виде
она мало что говорит. Чтобы навести порядок в этом хаосе цифр, нужно
прежде всего составить таблицу частотного распределения (табл. 1). Для
этого показатели группируются по заранее выработанным интервалам
значений. Когда же показатели распределены по группам, подсчиты-
ваются число групп и число показателей в каждой из них. Полученное
таким способом число и есть частота (количество случаев) для соответ-
ствующего интервала. Сумма всех частот равняется N-общему числу
случаев В табл. 1 даны результаты 1000 студентов по тесту на усвоение
кода, в котором производилась замена
искусственных слов или бессмысленных
Таблица 1 слогов из одного набора аналогичными
Частотное распределение результа- элементами ИЗ Другого набора. Значения
тов у 1000 студентов по тесту ус- первичного показателя (число правильных
воения кода (A. Anastasi, 1934, р. 34) ответов, данных испытуемым за 2 мин)
-1- уложились в пределы от.8 до 55. Этот
Классы (интервалы) Частота ДИВЛаЗОН был разбит На ИНТСрВаЛЫ ПО
jjf 1 4 очка в каждом: от 8-11 до 52-55.
48-51 1 Из колонки частот видно, что результаты
44-47 20 двух испытуемых находятся в интервале
_ между 8 и II, трех-между 12 и 15 и т.д.
з2_з5 328 Информация, содержащаяся в частот-
28-31 244 ном распределении, может быть также
24-37 136 представлена графически в виде кривой
_ распределения На рис. 1 данные из 1абл. 1
ii_ij з изображены с помощью графика. ДПо го-
8-11 2 ризонтальной оси отложены интервалы
gQ looo значений тестового показателя, а по вер-
____________________ тикальной-частота, или число случаев,
См., например: Г. В. Суходольский. Основы математической статистики для психо-
логов. Л., 1972; Дж. Гласе, Дж. Стэнли. Статистические методы в педагогике и психоло-
гии. М.. 1976: М.И. Грабарь. К. А. Краснянская. Применение математической статистики
68
ПРИНЦИПЫ ПСИХОЛОГИЧЕСКОГО ТЕСТИРОВАНИЯ
попадающих в каждый класс. График может строиться двумя спосо-
бами, каждый из которых достаточно распространен. На гистограмме
высота столбцов, вычерченных над каждым интервалом, соответствует
числу людей, чьи результаты попали в этот интервал (их количество
определяет высоту столбца). В полигоне частот число испытуемых
указывается точкой, расположенной над серединой интервала на высоте,
соответствующей его частоте, а сами точки последовательно соеди-
няются прямолинейными отрезками.
Если не считать незначительных отклонений, распределение, пред-
ставленное на рис. 1, напоминает колоколообразную нормальную кри-
вую. Идеальная нормальная кривая изображена на рис. 3. Этот тип кри-
вой обладает важными математическими свойствами, и на ней основаны
многие виды статистического анализа. Для наших целей, однако, важны
лишь некоторые из них. По существу эта кривая означает, что число слу-
чаев максимально в середине распределения и постепенно спадает к ее
краям. Кривая симметрична и имеет единственный пик в центре. Боль-
шинство распределений численных показателей-от роста и веса д< спо-
собностей и параметров личности-приближаются к нормальной кривой.
Вообще говоря, чем больше группа, тем ближе распределение к теорети-
ческой нормальной кривой.
Труппа тестовых показателей может быть описана в терминах той
или иной меры центральной тенденции. Такая мера указывает един-
ственный, наиболее типичный или репрезентативный результат, характе-
ризующий выполнение теста всей группой. Самой известной из таких мер
является среднее (точнее, среднеарифметическое) значение (М). Оно нахо-
Рис. 1.
340
320
300
280
260
240
220
200
180
Кривая полигона частот и гистограмма (по донным табл. 1)
69
НОРМЫ И ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ТЕСТА
дится сложением всех результатов и делением получившейся суммы на
число случаев (N). Другой мерой центральной тенденции является мода,
или наиболее часто встречающийся результат. В частотном распределении
мода определяется как середина интервала, для которого частота макси-
мальна.Например, в табл. 1 мода находится посередине между 32 и 35,
т.е. равна 33,5. Отметим, что этот результат соответствует самой высо-
кой точке кривой распределения на рис. 1.Третья мера центральной тен-
денции-это медиана, т.е. результат, находящийся в середине последова-
тельности показателей, если их расположить в порядке возрастания или
убывания. Медиана есть точка, делящая распределение ровно пополам,
причем одна половина результатов лежит справа от нее, а другая слева.
Для более полного описания результатов теста используются меры
разброса данных, характеризующие степень индивидуальных отклонений
от центральной тенденции. Наиболее наглядным и известным способом
представления разброса является размах распределения, т. е. разность ме-
жду самым высоким и самым низким результатом. Но эта мера крайне
неточна и неустойчива, поскольку она определяется только двумя пока-
зателями. Единственный необычно высокий или низкий результат может
заметно повлиять на величину размаха. Более точный метод измерения
разброса основан на учете разности между каждым индивидуальным ре-
зультатом и средним значением по
группе.
Вгом месте следует обра-
титься к табл. 2, где приведены
расчеты рассматриваемых сейчас
мер, выполненные для 10 случаев.
Столь малая группа взята ради
наглядности, хотя на практике
вряд ли стоит выполнять подоб-
ные расчеты по столь незначитель-
ному числу случаев. В табл. 2
вводятся также принятые в статис-
тике обозначения, которые будут
использоваться и в дальнейшем.
Первичные результаты теста по
традиции обозначаются пропис-
ной буквой X, а малая буква х
служит для обозначения отклоне-
ния каждого индивидуального ре-
зультата от среднего значения по
группе. Греческая буква ? рас-
шифровывается как сумма. Сред-
нее значение и медиана опреде-
лены по данным, содержащимся
в первой колонке табл. 2. Среднее
значение равно 40, а медиана 40,5,
т.е. посередине между 40 и 41:
пять результатов (50Їо) лежат спра-
ва и пять слева от медианы. Мода
же для столь малой группы едва
ттт, м-гр-т рпт. найдена, поскольку
Таблица 2
Меры центральной тенденции и вариативности
ОтклонениеКвадрат
Значение показателяот среднегоотклонения
Ххx
,48+8 )64
\47+" 149
50>/" 43 )+209
случаев J41+1
t41+i ->1
Медиана == 40,5
40Ї 0
.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143
ми приводятся в нем лишь для иллюстрации и не предназначены для
обучения статистическим методам. Подробности вычислений и кон-
кретные процедуры решения прикладных задач читатель зайдет в любом
учебнике по статистике для психологов и педагогов.
ОСНОВНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
Главная цель статистического метода-представить количественные
данные в систематизированной и сжатой форме с тем, чтобы облегчить
их понимание Колонка из 1000 тестовых показателей может произво-
дить внушительное, даже ошеломляющее впечатление. Но в таком виде
она мало что говорит. Чтобы навести порядок в этом хаосе цифр, нужно
прежде всего составить таблицу частотного распределения (табл. 1). Для
этого показатели группируются по заранее выработанным интервалам
значений. Когда же показатели распределены по группам, подсчиты-
ваются число групп и число показателей в каждой из них. Полученное
таким способом число и есть частота (количество случаев) для соответ-
ствующего интервала. Сумма всех частот равняется N-общему числу
случаев В табл. 1 даны результаты 1000 студентов по тесту на усвоение
кода, в котором производилась замена
искусственных слов или бессмысленных
Таблица 1 слогов из одного набора аналогичными
Частотное распределение результа- элементами ИЗ Другого набора. Значения
тов у 1000 студентов по тесту ус- первичного показателя (число правильных
воения кода (A. Anastasi, 1934, р. 34) ответов, данных испытуемым за 2 мин)
-1- уложились в пределы от.8 до 55. Этот
Классы (интервалы) Частота ДИВЛаЗОН был разбит На ИНТСрВаЛЫ ПО
jjf 1 4 очка в каждом: от 8-11 до 52-55.
48-51 1 Из колонки частот видно, что результаты
44-47 20 двух испытуемых находятся в интервале
_ между 8 и II, трех-между 12 и 15 и т.д.
з2_з5 328 Информация, содержащаяся в частот-
28-31 244 ном распределении, может быть также
24-37 136 представлена графически в виде кривой
_ распределения На рис. 1 данные из 1абл. 1
ii_ij з изображены с помощью графика. ДПо го-
8-11 2 ризонтальной оси отложены интервалы
gQ looo значений тестового показателя, а по вер-
____________________ тикальной-частота, или число случаев,
См., например: Г. В. Суходольский. Основы математической статистики для психо-
логов. Л., 1972; Дж. Гласе, Дж. Стэнли. Статистические методы в педагогике и психоло-
гии. М.. 1976: М.И. Грабарь. К. А. Краснянская. Применение математической статистики
68
ПРИНЦИПЫ ПСИХОЛОГИЧЕСКОГО ТЕСТИРОВАНИЯ
попадающих в каждый класс. График может строиться двумя спосо-
бами, каждый из которых достаточно распространен. На гистограмме
высота столбцов, вычерченных над каждым интервалом, соответствует
числу людей, чьи результаты попали в этот интервал (их количество
определяет высоту столбца). В полигоне частот число испытуемых
указывается точкой, расположенной над серединой интервала на высоте,
соответствующей его частоте, а сами точки последовательно соеди-
няются прямолинейными отрезками.
Если не считать незначительных отклонений, распределение, пред-
ставленное на рис. 1, напоминает колоколообразную нормальную кри-
вую. Идеальная нормальная кривая изображена на рис. 3. Этот тип кри-
вой обладает важными математическими свойствами, и на ней основаны
многие виды статистического анализа. Для наших целей, однако, важны
лишь некоторые из них. По существу эта кривая означает, что число слу-
чаев максимально в середине распределения и постепенно спадает к ее
краям. Кривая симметрична и имеет единственный пик в центре. Боль-
шинство распределений численных показателей-от роста и веса д< спо-
собностей и параметров личности-приближаются к нормальной кривой.
Вообще говоря, чем больше группа, тем ближе распределение к теорети-
ческой нормальной кривой.
Труппа тестовых показателей может быть описана в терминах той
или иной меры центральной тенденции. Такая мера указывает един-
ственный, наиболее типичный или репрезентативный результат, характе-
ризующий выполнение теста всей группой. Самой известной из таких мер
является среднее (точнее, среднеарифметическое) значение (М). Оно нахо-
Рис. 1.
340
320
300
280
260
240
220
200
180
Кривая полигона частот и гистограмма (по донным табл. 1)
69
НОРМЫ И ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ТЕСТА
дится сложением всех результатов и делением получившейся суммы на
число случаев (N). Другой мерой центральной тенденции является мода,
или наиболее часто встречающийся результат. В частотном распределении
мода определяется как середина интервала, для которого частота макси-
мальна.Например, в табл. 1 мода находится посередине между 32 и 35,
т.е. равна 33,5. Отметим, что этот результат соответствует самой высо-
кой точке кривой распределения на рис. 1.Третья мера центральной тен-
денции-это медиана, т.е. результат, находящийся в середине последова-
тельности показателей, если их расположить в порядке возрастания или
убывания. Медиана есть точка, делящая распределение ровно пополам,
причем одна половина результатов лежит справа от нее, а другая слева.
Для более полного описания результатов теста используются меры
разброса данных, характеризующие степень индивидуальных отклонений
от центральной тенденции. Наиболее наглядным и известным способом
представления разброса является размах распределения, т. е. разность ме-
жду самым высоким и самым низким результатом. Но эта мера крайне
неточна и неустойчива, поскольку она определяется только двумя пока-
зателями. Единственный необычно высокий или низкий результат может
заметно повлиять на величину размаха. Более точный метод измерения
разброса основан на учете разности между каждым индивидуальным ре-
зультатом и средним значением по
группе.
Вгом месте следует обра-
титься к табл. 2, где приведены
расчеты рассматриваемых сейчас
мер, выполненные для 10 случаев.
Столь малая группа взята ради
наглядности, хотя на практике
вряд ли стоит выполнять подоб-
ные расчеты по столь незначитель-
ному числу случаев. В табл. 2
вводятся также принятые в статис-
тике обозначения, которые будут
использоваться и в дальнейшем.
Первичные результаты теста по
традиции обозначаются пропис-
ной буквой X, а малая буква х
служит для обозначения отклоне-
ния каждого индивидуального ре-
зультата от среднего значения по
группе. Греческая буква ? рас-
шифровывается как сумма. Сред-
нее значение и медиана опреде-
лены по данным, содержащимся
в первой колонке табл. 2. Среднее
значение равно 40, а медиана 40,5,
т.е. посередине между 40 и 41:
пять результатов (50Їо) лежат спра-
ва и пять слева от медианы. Мода
же для столь малой группы едва
ттт, м-гр-т рпт. найдена, поскольку
Таблица 2
Меры центральной тенденции и вариативности
ОтклонениеКвадрат
Значение показателяот среднегоотклонения
Ххx
,48+8 )64
\47+" 149
50>/" 43 )+209
случаев J41+1
t41+i ->1
Медиана == 40,5
40Ї 0
.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143