А.В.Волошинов в своей книге о Пифагоре отмечает: «И хотя сегодня теорема Пифагора обнаружена в различных частных задачах и чертежах: и в египетском треугольнике в папирусе времен фараона Аменемхета I (около 2000 года до нашей эры), и в вавилонских клинописных табличках эпохи царя Хаммурапи (XVIII веке до нашей эры), и в древнейшем китайском трактате „Чжоу-би суань цзинь“ („Математический трактат о гномоне“), время создания которого точно не известно, но где утверждается, что в XII веке до нашей эры китайцы знали свойства египетского треугольника, а к VI веку до нашей эры — и общий вид теоремы, и в древнеиндийском геометрическо-теологическом трактате VII–V веках до нашей эры „Сульва сутра“ („Правила веревки“), — несмотря на все это, имя Пифагора столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчас просто невозможно представить, что это словосочетание распадется. То же относится и к легенде о заклании быков Пифагором. Да и вряд ли нужно препарировать историко-математическим скальпелем красивые древние предания.
Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов. Поэтому нам ничего не остается, как рассмотреть некоторые классические доказательства теоремы Пифагора, известные из древних трактатов. Сделать это полезно еще и потому, что в современных школьных учебниках дается алгебраическое доказательство теоремы. При этом бесследно исчезает первозданная геометрическая аура теоремы, теряется та нить Ариадны, которая вела древних мудрецов к истине, а путь этот почти всегда оказывался кратчайшим и всегда красивым».
Теорема Пифагора гласит: «Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах». Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы.
Во II веке до нашей эры в Китае была изобретена бумага и одновременно начинается создание древних книг. Так возникла «Математика в девяти книгах» — главное из сохранившихся математико-астрономических сочинений. В IX книге «Математики» помещен чертеж, доказывающий теорему Пифагора. Ключ к этому доказательству подобрать нетрудно. В самом деле, на древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами и гипотенузой. С уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной А+В, а внутренний — квадрат со стороной С, построенный на гипотенузе. Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника, то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна С в квадрате, а с другой — А+В, т. е. С=А+В. Теорема доказана.
Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. В написанном на пальмовых листьях трактате «Сид-дханта широмани» («Венец знания») крупнейшего индийского математика XII века в Бхаскары помещен чертеж с характерным для индийских доказательств словом «смотри!». Прямоугольные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат С перекладывается в «кресло невесты» квадрат А плюс квадрат В. Частные случаи теоремы Пифагора встречаются в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» (VII–V веках до нашей эры).
Доказательство Евклида приведено в предложении 1 книги «Начал». Здесь для доказательства на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника строятся соответствующие квадраты.
«Багдадский математик и астроном X века ан-Найризий (латинизированное имя — Аннариций), — пишет Волошинов, — в арабском комментарии к „Началам“ Евклида дал следующее доказательство теоремы Пифагора. Квадрат на гипотенузе разбит у Аннариция на пять частей, из которых составляются квадраты на катетах. Конечно, равенство всех соответствующих частей требует доказательства, но мы его за очевидностью оставляем читателю. Любопытно, что доказательство Аннариция является простейшим среди огромного числа доказательств теоремы Пифагора методом разбиения: в нем фигурирует всего 5 частей (или 7 треугольников). Это наименьшее число возможных разбиений».
ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ
Геометрия, как и другие науки, возникла из потребностей практики. Само слово «геометрия» греческое, в переводе означает «землемерие».
Люди очень рано столкнулись с необходимостью измерять земельные участки. Это требовало определенного запаса геометрических и арифметических знаний. Постепенно люди начали измерять и изучать свойства более сложных геометрических фигур.
«По дошедшим до нас египетским папирусам и древневавилонским текстам видно, что уже за 2 тысячи лет до нашей эры люди умели определять площади треугольников, прямоугольников, трапеций, приближенно вычислять площадь круга, — пишет И. Г. Башмакова. — Они знали также формулы для определения объемов куба, цилиндра, конуса, пирамиды и усеченной пирамиды. Сведения по геометрии вскоре стали необходимы не только при измерении земли. Развитие архитектуры, а несколько позднее и астрономии предъявило геометрии новые требования. И в Египте и в Вавилоне сооружались колоссальные храмы, строительство которых могло производиться только на основе предварительных расчетов…И все же, несмотря на то, что человечество накопило такие обширные знания геометрических фактов, геометрия как наука еще не существовала.
Геометрия стала наукой только после того, как в ней начали систематически применять логические доказательства, начали выводить геометрические предложения не только путем непосредственных измерений, но и путем умозаключений, путем вывода одного положения из другого, и устанавливать их в общем виде. Обычно этот переворот в геометрии связывают с именем ученого и философа VI века до нашей эры Пифагора Самосского».
Однако все новые проблемы и созданные в связи с ними теории привели к тому, что совершенствовались сами способы математических доказательств, возрастала потребность создания стройной логической системы в геометрии.
«Но как строить такую систему? — спрашивает И.Г. Башмакова. — Ведь каждое отдельное предложение мы доказываем, опираясь на некоторые другие предложения. Эти предложения в свою очередь доказываются ссылкой на какие-тр третьи предложения и т. д., эти ссылки мы могли бы продолжать до бесконечности, и процесс доказательства никогда бы не закончился. Как же быть? Это обстоятельство заметили еще в древности, и тогда же был найден выход.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168