— Иди быстрей за вещами и не трать время на душ. Я жду тебя в машине.
Она вела машину, храня молчание, не проронив ни слова, улыбалась своим мыслям и иногда чуть поворачивала голову, чтобы искоса глянуть на меня. Перед светофором она протянула руку и погладила меня по щеке.
— Погоди, погоди, — озарило меня вдруг, — выходит, Джон и Сэмми…
— Нет! — Она захохотала, спеша оправдаться, хотя голос ее звучал не слишком убедительно. — Они тут ни при чем! Разве вы, математики, не верите в случайность?
Мы припарковались на одной из боковых улиц Саммертауна. Потом поднялись на второй этаж по маленькой, покрытой ковром лестнице. Квартира Лорны представляла собой что-то вроде мансарды в большом викторианском доме. Мы вошли и снова бросились целоваться — прямо на пороге.
— Ты отпустишь меня на минутку в ванную, ладно? — спросила она и двинулась по коридору к двери с матовым стеклом.
Я остался в небольшой гостиной и принялся с интересом разглядывать все вокруг. В комнате царил весьма милый и пестрый беспорядок: отпускные фотографии, куклы, киноафиши и очень много книг на стеллаже — им явно уже не хватало там места. Я подошел и взглянул на названия — сплошь детективные романы. Потом сунул нос в спальню: кровать была тщательно застелена, с боков края покрывала касались пола. На прикроватной тумбочке лежала раскрытая книга — обложкой вниз. Я подошел и перевернул ее. Прочел название, а также имя автора, напечатанное чуть выше, и почувствовал что-то вроде ледяного озноба: это была книга Селдома о логических сериях. Книга была прямо-таки яростно исчеркана, неразборчивые пометки покрывали поля. Я услышал шум воды в ванной, потом шлепанье босых ног по коридору и зовущий меня голос. Я положил книгу так, как она лежала раньше, и вернулся в гостиную.
— Ну что, — бросила мне Лорна, стоя голой у двери и позволяя себя разглядеть, — ты все еще в брюках?
Глава 7
— Есть разница между полной истиной и частью истины, и это можно доказать: таков по сути вывод Тарского из теоремы Гёделя, — сказал Селдом. — И разумеется, судьи, судебные врачи, а также археологи усвоили это куда раньше математиков. Возьмем для примера любое преступление с двумя подозреваемыми. Каждый из них знает всю правду, то, что первостепенно важно в данном деле: «это был я» или «это был не я». Но правосудие не может напрямую использовать их правду, ему приходится двигаться к ней извилистыми и трудными путями, собирая доказательства: проводить допросы, изучать и проверять алиби, искать отпечатки пальцев… И очень часто очевидных вроде бы фактов оказывается недостаточно ни для того, чтобы доказать вину одного, ни для того, чтобы снять подозрения с другого. По сути, Гёдель в 1930 году убедительно продемонстрировал в своей теореме о неполноте, что нечто подобное случается и в математике. Имеется в виду механизм доказательства истины, восходящий к Аристотелю и Евклиду, весь этот набор приемов, с помощью которых, опираясь на постулаты и правила вывода, путем логических дедукций получают утверждения (теоремы) данной теории — иначе говоря, то, что мы называем аксиоматическим методом… Но и он порой может оказаться столь же неудовлетворительным, как и шаткие критерии приблизительности в глазах правосудия. — Селдом на миг прервался, протянув руку к соседнему столу за бумажной салфеткой. Я подумал было, что он хочет написать на ней одну из своих формул, но он лишь быстро вытер салфеткой уголок рта и вновь заговорил: — Гёдель показал, что далее на самых элементарных математических уровнях существуют идеи, которые не могут быть ни доказаны, ни отвергнуты на основе аксиом, и последние находятся вне зоны достижения формальных механизмов и не поддаются никаким попыткам доказательства. Есть случаи, относительно которых ни один судья не может сказать, где правда, а где ложь, виноват человек или невинен. Когда я впервые познакомился с этой теоремой, Иглтон был моим официальным научным руководителем, и вот что поразило меня больше всего, как только я сумел разобраться и — главное — принять истинное значение теоремы: мне показалось весьма любопытным то, что математики на протяжении столь долгого времени пользовались, не испытывая особых неудобств и сомнений, абсолютно — и безусловно — ошибочным принципом.
Мало того, поначалу почти все полагали, что это сам Гёдель совершил какую-то ошибку и что вскоре в его доказательстве обнаружится некая трещина; даже сам Зермело оставил все прочие работы и два года жизни полностью посвятил попыткам теорему опровергнуть. Первый вопрос, который я себе задал, был таким: почему математики не спотыкаются да и не спотыкались на протяжении нескольких веков ни об один из этих недоказуемых постулатов, почему и после Гёделя, то есть в настоящее время, математика способна идти своей дорогой — в любом направлении, куда ей заблагорассудится?
Мы остались одни за длинным общим столом в Мертон-колледже. Перед нами в строгом порядке висели портреты выдающихся людей, которые когда-то здесь учились. Под портретами имелись бронзовые таблички с фамилиями, но мне удалось прочесть только одну — Т.С. Элиот. Официанты бесшумно собирали вокруг нас приборы преподавателей, которые уже отправились на занятия. Селдом успел спасти свой стакан с водой и сделал большой глоток, после чего продолжил:
— В ту пору я был довольно пылким коммунистом, и на меня сильное впечатление произвела одна фраза Маркса, кажется, из «Немецкой идеологии», о том, что человечество в исторической перспективе ставило перед собой лишь те задачи, которые могло решить. И какое-то время я полагал, что здесь-то и кроется росток объяснения: математики на самом деле ставили перед собой лишь те задачи, для которых имелось хотя бы частичное доказательство. Не потому, разумеется, что подсознательно желали упростить себе жизнь, но потому, что математическая интуиция — и это мое предположение уже было безусловно пропитано теми же методами доказательств и двигалось, скажем, по пути, проложенному Кантом к тому, что или легко доказуемо, или легко опровергается. Что «рывок коня», с которым можно сравнить работу интуиции, не был, как принято считать, драматической вспышкой, совершенно непредсказуемой, а скорее являл собой скромный символ того, что всегда можно в конце концов достичь, даже если идти черепашьим шагом — следом за доказательством. Именно тогда я познакомился с Сарой, матерью Бет. Сара только что начала изучать физику; она уже была невестой Джонни, единственного сына Иглтонов. Мы часто вместе ходили играть в боулинг или плавать. Сара первой рассказала мне о принципе неопределенности — фундаментальном для квантовой теории. Вы, конечно, знаете, о чем я говорю:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
Она вела машину, храня молчание, не проронив ни слова, улыбалась своим мыслям и иногда чуть поворачивала голову, чтобы искоса глянуть на меня. Перед светофором она протянула руку и погладила меня по щеке.
— Погоди, погоди, — озарило меня вдруг, — выходит, Джон и Сэмми…
— Нет! — Она захохотала, спеша оправдаться, хотя голос ее звучал не слишком убедительно. — Они тут ни при чем! Разве вы, математики, не верите в случайность?
Мы припарковались на одной из боковых улиц Саммертауна. Потом поднялись на второй этаж по маленькой, покрытой ковром лестнице. Квартира Лорны представляла собой что-то вроде мансарды в большом викторианском доме. Мы вошли и снова бросились целоваться — прямо на пороге.
— Ты отпустишь меня на минутку в ванную, ладно? — спросила она и двинулась по коридору к двери с матовым стеклом.
Я остался в небольшой гостиной и принялся с интересом разглядывать все вокруг. В комнате царил весьма милый и пестрый беспорядок: отпускные фотографии, куклы, киноафиши и очень много книг на стеллаже — им явно уже не хватало там места. Я подошел и взглянул на названия — сплошь детективные романы. Потом сунул нос в спальню: кровать была тщательно застелена, с боков края покрывала касались пола. На прикроватной тумбочке лежала раскрытая книга — обложкой вниз. Я подошел и перевернул ее. Прочел название, а также имя автора, напечатанное чуть выше, и почувствовал что-то вроде ледяного озноба: это была книга Селдома о логических сериях. Книга была прямо-таки яростно исчеркана, неразборчивые пометки покрывали поля. Я услышал шум воды в ванной, потом шлепанье босых ног по коридору и зовущий меня голос. Я положил книгу так, как она лежала раньше, и вернулся в гостиную.
— Ну что, — бросила мне Лорна, стоя голой у двери и позволяя себя разглядеть, — ты все еще в брюках?
Глава 7
— Есть разница между полной истиной и частью истины, и это можно доказать: таков по сути вывод Тарского из теоремы Гёделя, — сказал Селдом. — И разумеется, судьи, судебные врачи, а также археологи усвоили это куда раньше математиков. Возьмем для примера любое преступление с двумя подозреваемыми. Каждый из них знает всю правду, то, что первостепенно важно в данном деле: «это был я» или «это был не я». Но правосудие не может напрямую использовать их правду, ему приходится двигаться к ней извилистыми и трудными путями, собирая доказательства: проводить допросы, изучать и проверять алиби, искать отпечатки пальцев… И очень часто очевидных вроде бы фактов оказывается недостаточно ни для того, чтобы доказать вину одного, ни для того, чтобы снять подозрения с другого. По сути, Гёдель в 1930 году убедительно продемонстрировал в своей теореме о неполноте, что нечто подобное случается и в математике. Имеется в виду механизм доказательства истины, восходящий к Аристотелю и Евклиду, весь этот набор приемов, с помощью которых, опираясь на постулаты и правила вывода, путем логических дедукций получают утверждения (теоремы) данной теории — иначе говоря, то, что мы называем аксиоматическим методом… Но и он порой может оказаться столь же неудовлетворительным, как и шаткие критерии приблизительности в глазах правосудия. — Селдом на миг прервался, протянув руку к соседнему столу за бумажной салфеткой. Я подумал было, что он хочет написать на ней одну из своих формул, но он лишь быстро вытер салфеткой уголок рта и вновь заговорил: — Гёдель показал, что далее на самых элементарных математических уровнях существуют идеи, которые не могут быть ни доказаны, ни отвергнуты на основе аксиом, и последние находятся вне зоны достижения формальных механизмов и не поддаются никаким попыткам доказательства. Есть случаи, относительно которых ни один судья не может сказать, где правда, а где ложь, виноват человек или невинен. Когда я впервые познакомился с этой теоремой, Иглтон был моим официальным научным руководителем, и вот что поразило меня больше всего, как только я сумел разобраться и — главное — принять истинное значение теоремы: мне показалось весьма любопытным то, что математики на протяжении столь долгого времени пользовались, не испытывая особых неудобств и сомнений, абсолютно — и безусловно — ошибочным принципом.
Мало того, поначалу почти все полагали, что это сам Гёдель совершил какую-то ошибку и что вскоре в его доказательстве обнаружится некая трещина; даже сам Зермело оставил все прочие работы и два года жизни полностью посвятил попыткам теорему опровергнуть. Первый вопрос, который я себе задал, был таким: почему математики не спотыкаются да и не спотыкались на протяжении нескольких веков ни об один из этих недоказуемых постулатов, почему и после Гёделя, то есть в настоящее время, математика способна идти своей дорогой — в любом направлении, куда ей заблагорассудится?
Мы остались одни за длинным общим столом в Мертон-колледже. Перед нами в строгом порядке висели портреты выдающихся людей, которые когда-то здесь учились. Под портретами имелись бронзовые таблички с фамилиями, но мне удалось прочесть только одну — Т.С. Элиот. Официанты бесшумно собирали вокруг нас приборы преподавателей, которые уже отправились на занятия. Селдом успел спасти свой стакан с водой и сделал большой глоток, после чего продолжил:
— В ту пору я был довольно пылким коммунистом, и на меня сильное впечатление произвела одна фраза Маркса, кажется, из «Немецкой идеологии», о том, что человечество в исторической перспективе ставило перед собой лишь те задачи, которые могло решить. И какое-то время я полагал, что здесь-то и кроется росток объяснения: математики на самом деле ставили перед собой лишь те задачи, для которых имелось хотя бы частичное доказательство. Не потому, разумеется, что подсознательно желали упростить себе жизнь, но потому, что математическая интуиция — и это мое предположение уже было безусловно пропитано теми же методами доказательств и двигалось, скажем, по пути, проложенному Кантом к тому, что или легко доказуемо, или легко опровергается. Что «рывок коня», с которым можно сравнить работу интуиции, не был, как принято считать, драматической вспышкой, совершенно непредсказуемой, а скорее являл собой скромный символ того, что всегда можно в конце концов достичь, даже если идти черепашьим шагом — следом за доказательством. Именно тогда я познакомился с Сарой, матерью Бет. Сара только что начала изучать физику; она уже была невестой Джонни, единственного сына Иглтонов. Мы часто вместе ходили играть в боулинг или плавать. Сара первой рассказала мне о принципе неопределенности — фундаментальном для квантовой теории. Вы, конечно, знаете, о чем я говорю:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48