Однако многомерные пространства можно свернуть (или компактифицировать) различными способами. Например, двумерную поверхность можно присоединить так, чтобы она образовывала либо поверхность сферы, либо поверхность тора (фигуры, имеющей формы бублика). Обе структуры замкнуты, и их размеры могут быть предельно малыми; однако они существенно различаются своей топологией: у бублика есть дырка!
Когда же речь идет о семи измерениях, набор возможных топологий становится чрезвычайно большим. Какая из них верна? Один из наиболее привлекательных вариантов – это семимерный аналог сферы, т.е. 7-сфера. Если невидимые измерения пространна действительно имеют такую форму, это означает, что каждая точка трехмерного пространства фактически представляет собой крохотный семимерный “гипершар”, 7-сфера привлекла внимание математиков более полувека назад в связи с тем, что она обладает рядом уникальных геометрических свойств. Нет необходимости входить в детали этого, но если бы природе понадобилась замкнутая геометрическая структура, допускающая существование в реальном мире всех известных фундаментальных взаимодействий, то простейшей из них была бы 7-сфера. Все наблюдаемые нами структуры – от атомов до галактик – нельзя получить с помощью более простой математической конструкции.
Сфера – в высшей степени симметричная фигура, причем 7-сфера обладает многими дополнительными симметриями, не свойственными обычной сфере. Именно с их помощью удается смоделировать основополагающие калибровочные симметрии силовых полей. Однако физикам понадобилось много времени, чтобы обнаружить эти поля, в частности по той причине, что симметрии иногда оказываются скрытыми, или нарушенными (в том смысле, как это описано в гл. 8). В теории Калуцы – Клейна такое нарушение симметрии достигается небольшой деформацией семимерной структуры, ее отклонением от идеальной сферичности. Слегка сплюснутая 7-сфера считается сейчас наиболее вероятной конфигурацией дополнительных компактифицированных измерений пространства.
Воскрешенная теория Калуцы – Клейна вдохновила теоретиков на переформулировку законов физики с учетом одиннадцати измерений. При этом возникла необходимость объяснить, почему единое пространство-время допускает расщепление размерностей на семь и четыре. Насколько неизбежно, чтобы семь из одиннадцати измерений свернулись, став невидимыми, а остальные четыре оказались доступными непосредственному восприятию, или возможны и другие разбиения, например на восемь и три?
В поисках причин спонтанной компактификации семи измерений теоретики исходили из того, что физические системы всегда стремятся к состоянию с наименьшей энергией. В гл. 8 мы уже приводили пример действия этого принципа: шарик на поверхности “сомбреро” в конечном итоге переходит в устойчивое состояние с наименьшей энергией, скатываясь на “поля” сомбреро. Это наводит на мысль, что слегка сплюснутая 7-сфера в некотором смысле воплощает в себе конфигурацию пространства-времени с наименьшей энергией.
Вместе с тем можно допустить, что 7-сфера – лишь одна из многих возможных конфигураций. Заманчиво предположить, что где-то в космосе, за пределами наблюдаемой Вселенной пространство имеет другое число измерений. Возможно, переместившись на тысячи миллионов световых лет, мы оказались бы в мире с пятью пространственными измерениями вместо трех. Тогда мы смогли бы ответить на вопрос: «Почему три?». Одиннадцатимерное пространство-время могло бы быть разбито на области (домены) с различной наблюдаемой размерностью. Поскольку свойства силовых полей зависят от геометрических симметрия компактифицированных измерений, характер взаимодействий должен был бы изменяться при переходе от одной области к другой. Эти изменения порождали бы ряд проблем, обсуждавшихся ранее, в частности связанных с устойчивостью, волновым движением и т. п. В результате физические условия в областях пространства-времени, где нет обычного расщепления на семь и четыре, резко отличались бы от условий, существующих в наблюдаемой нами Вселенной. Сомнительно, чтобы в подобных областях могла цвести жизнь или вообще могло что-либо существовать. Живые организмы имеют чрезвычайно тонкую организацию и их существование, по-видимому, критически зависит от единственно гармоничного сочетания взаимодействий, которое характерно для нашей Вселенной. Отсюда следует, что мы самим своим существованием выбрали область пространства-времени с тремя пространственными измерениями, доступными непосредственному восприятию. Мы просто не смогли бы жить в области с иным числом измерений.
Почему одиннадцать?
Использование так называемого антропного принципа для объяснения трехмерности непосредственно воспринимаемого нами пространства порождает новые интересные вопросы. Должно ли полное число измерений пространства-времени неизбежно равняться одиннадцати или оно также может меняться от места к месту? Не может ли существовать мир, в котором из полного числа измерений, равного двадцати одному, семнадцать свернулись в компактную структуру? Такой мир будет обладать значительно более сложной системой силовых полей, чем те четыре взаимодействия, которые мы наблюдаем в окружающем нас мире. Кто знает, какие замысловатые структуры, какие утонченные формы жизни могли бы возникнуть в такой вселенной?
На протяжении всей истории человечества люди увлекались цифрологией, исповедовали культ чисел. Древние греки наделяли определенные числа мистическим смыслом. До наших дней число четыре – число сторон квадрата – хранит следы того, что в древности связывалось с честностью и справедливостью, – как в выражении a square deal(честная сделка). (Square ванглийском языке означает, с одной стороны, «квадрат, прямоугольник », а с другой – «честный», «прямой», а также «ровный», «точный».)
Многие люди до сих пор верят в «счастливые» и «несчастливые» числа, такие, как три, семь, тринадцать. В Библии неоднократно упоминаются числа семь и сорок; число 666 люди связывают с дьяволом и т. п.
Когда мы встречаемся с теми или иными числами, возникает искушение поискать скрывающийся за ними смысл. Иногда эти числа кажутся чисто случайными, как, например, число планет в Солнечной системе. За другими, возможно, скрывается какой-то более глубинный смысл. Так, оказалось, что число адронов определяется числом возможных комбинаций кварков. А что такое размерность пространства-времени: столь же случайное число, как количество планет и тому подобное? Или это указание на существование фундаментальных фактов, отражающих на языке логики и математики структуру физического мира?
Имеется любопытное свидетельство того, что число одиннадцать действительно имеет глубокий математический смысл.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
Когда же речь идет о семи измерениях, набор возможных топологий становится чрезвычайно большим. Какая из них верна? Один из наиболее привлекательных вариантов – это семимерный аналог сферы, т.е. 7-сфера. Если невидимые измерения пространна действительно имеют такую форму, это означает, что каждая точка трехмерного пространства фактически представляет собой крохотный семимерный “гипершар”, 7-сфера привлекла внимание математиков более полувека назад в связи с тем, что она обладает рядом уникальных геометрических свойств. Нет необходимости входить в детали этого, но если бы природе понадобилась замкнутая геометрическая структура, допускающая существование в реальном мире всех известных фундаментальных взаимодействий, то простейшей из них была бы 7-сфера. Все наблюдаемые нами структуры – от атомов до галактик – нельзя получить с помощью более простой математической конструкции.
Сфера – в высшей степени симметричная фигура, причем 7-сфера обладает многими дополнительными симметриями, не свойственными обычной сфере. Именно с их помощью удается смоделировать основополагающие калибровочные симметрии силовых полей. Однако физикам понадобилось много времени, чтобы обнаружить эти поля, в частности по той причине, что симметрии иногда оказываются скрытыми, или нарушенными (в том смысле, как это описано в гл. 8). В теории Калуцы – Клейна такое нарушение симметрии достигается небольшой деформацией семимерной структуры, ее отклонением от идеальной сферичности. Слегка сплюснутая 7-сфера считается сейчас наиболее вероятной конфигурацией дополнительных компактифицированных измерений пространства.
Воскрешенная теория Калуцы – Клейна вдохновила теоретиков на переформулировку законов физики с учетом одиннадцати измерений. При этом возникла необходимость объяснить, почему единое пространство-время допускает расщепление размерностей на семь и четыре. Насколько неизбежно, чтобы семь из одиннадцати измерений свернулись, став невидимыми, а остальные четыре оказались доступными непосредственному восприятию, или возможны и другие разбиения, например на восемь и три?
В поисках причин спонтанной компактификации семи измерений теоретики исходили из того, что физические системы всегда стремятся к состоянию с наименьшей энергией. В гл. 8 мы уже приводили пример действия этого принципа: шарик на поверхности “сомбреро” в конечном итоге переходит в устойчивое состояние с наименьшей энергией, скатываясь на “поля” сомбреро. Это наводит на мысль, что слегка сплюснутая 7-сфера в некотором смысле воплощает в себе конфигурацию пространства-времени с наименьшей энергией.
Вместе с тем можно допустить, что 7-сфера – лишь одна из многих возможных конфигураций. Заманчиво предположить, что где-то в космосе, за пределами наблюдаемой Вселенной пространство имеет другое число измерений. Возможно, переместившись на тысячи миллионов световых лет, мы оказались бы в мире с пятью пространственными измерениями вместо трех. Тогда мы смогли бы ответить на вопрос: «Почему три?». Одиннадцатимерное пространство-время могло бы быть разбито на области (домены) с различной наблюдаемой размерностью. Поскольку свойства силовых полей зависят от геометрических симметрия компактифицированных измерений, характер взаимодействий должен был бы изменяться при переходе от одной области к другой. Эти изменения порождали бы ряд проблем, обсуждавшихся ранее, в частности связанных с устойчивостью, волновым движением и т. п. В результате физические условия в областях пространства-времени, где нет обычного расщепления на семь и четыре, резко отличались бы от условий, существующих в наблюдаемой нами Вселенной. Сомнительно, чтобы в подобных областях могла цвести жизнь или вообще могло что-либо существовать. Живые организмы имеют чрезвычайно тонкую организацию и их существование, по-видимому, критически зависит от единственно гармоничного сочетания взаимодействий, которое характерно для нашей Вселенной. Отсюда следует, что мы самим своим существованием выбрали область пространства-времени с тремя пространственными измерениями, доступными непосредственному восприятию. Мы просто не смогли бы жить в области с иным числом измерений.
Почему одиннадцать?
Использование так называемого антропного принципа для объяснения трехмерности непосредственно воспринимаемого нами пространства порождает новые интересные вопросы. Должно ли полное число измерений пространства-времени неизбежно равняться одиннадцати или оно также может меняться от места к месту? Не может ли существовать мир, в котором из полного числа измерений, равного двадцати одному, семнадцать свернулись в компактную структуру? Такой мир будет обладать значительно более сложной системой силовых полей, чем те четыре взаимодействия, которые мы наблюдаем в окружающем нас мире. Кто знает, какие замысловатые структуры, какие утонченные формы жизни могли бы возникнуть в такой вселенной?
На протяжении всей истории человечества люди увлекались цифрологией, исповедовали культ чисел. Древние греки наделяли определенные числа мистическим смыслом. До наших дней число четыре – число сторон квадрата – хранит следы того, что в древности связывалось с честностью и справедливостью, – как в выражении a square deal(честная сделка). (Square ванглийском языке означает, с одной стороны, «квадрат, прямоугольник », а с другой – «честный», «прямой», а также «ровный», «точный».)
Многие люди до сих пор верят в «счастливые» и «несчастливые» числа, такие, как три, семь, тринадцать. В Библии неоднократно упоминаются числа семь и сорок; число 666 люди связывают с дьяволом и т. п.
Когда мы встречаемся с теми или иными числами, возникает искушение поискать скрывающийся за ними смысл. Иногда эти числа кажутся чисто случайными, как, например, число планет в Солнечной системе. За другими, возможно, скрывается какой-то более глубинный смысл. Так, оказалось, что число адронов определяется числом возможных комбинаций кварков. А что такое размерность пространства-времени: столь же случайное число, как количество планет и тому подобное? Или это указание на существование фундаментальных фактов, отражающих на языке логики и математики структуру физического мира?
Имеется любопытное свидетельство того, что число одиннадцать действительно имеет глубокий математический смысл.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96