.. Корректней считается та теория, которая предположительно допускает экспериментальную проверку. Тем не менее в некоторых случаях научная интуиция способна предугадать правильность теории еще до проведения ее экспериментальной проверки. Эйнштейн (как и многие другие физики) верил в истинность специальной теории относительности, даже когда, эксперименты, казалось бы, противоречили ей.
Моррис рассказывает, как Эйнштейн реагировал на известие о том, что решающее предсказание его общей теории относительности получило подтверждение при астрономических наблюдениях. Эйнштейн отнесся к сообщению совершенно безучастно, и когда его спросили, как бы он отреагировал, если бы результаты противоречили его теории, ответил: “Мне было бы жалко Господа Бога, ведь теория-то правильная”.
Объяснить людям, далеким от математики, что такое математическое изящество, трудно, но я все-таки попытаюсь. Взгляните на кривую, изображенную на рис. 6. Хотя она гладкая и не имеет никаких особенностей, кривую отнюдь не сразу поставишь в соответствие чему-либо, известному из повседневной жизни. Если бы вас попросили запомнить кривую и при случае точно воспроизвести ее, задача оказалась бы безнадежной. Вы легко могли бы воспроизвести, скажем, окружность или какую-нибудь белее сложную, но легко узнаваемую кривую, например эллипс (который представляет собой не что иное, как окружность, рассматриваемую под некоторым углом); однако кривая на рис. 6 обладает более сложной структурой, чем окружность: и наклон касательной к ней, и кривизна кривой изменяются вдоль нее по определенному закону, который тем не менее трудно установить точно.
Рис.6.Экспонента. Форма этой кривой отражает важные математические особенности, характерные для широкого круга физических явлений. Представленная в виде графика экспонента может, например, описывать неограниченный рост народонаселения.
Что же касается математика, то он без труда опознает эту кривую, и ему известно, как "за кодировать" все ее свойства, чтобы легко вспомнить их и воспроизвести с любой степенью точности, если это понадобится. В действительности эта кривая представляет график так называемой экспоненциальной функции, или экспоненты, которая математически записывается как е^x и часто встречается в самых различных задачах. Математику хорошо известно, что эту функцию можно вывести из формулы (1 + х/n)^n в пределе, когда п становится бесконечно большим, и поэтому, вооружившись микрокалькулятором, он может вычислить координаты каждой точки на графике с любой требуемой точностью.
“Экспоненциальная функция – одно из самых изящных соотношений, известных человеку”, – утверждает математик. Почему?
Предположим, что нас интересует наклон кривой в каждой ее точке. Сначала кривая идет очень полого, а по мере продвижения слева направо становится все круче. Построим график, но не самой экспоненциальной функции, а угла наклона касательной к ней. Как он выглядит? Оказывается, совпадает с графиком самой экспоненциальной функции. Экспонента – это такая функция, значение которой в любой точке совпадает с углом наклона касательной к ней в этой точке (или по крайней мере пропорционально ему). Именно поэтому экспоненциальная функция играет столь важную роль при описании простых форм роста, например, неограниченного размножения популяции, градиент (мера скорости роста) которой пропорционален численности самой популяции. В некоторых районах земного шара эта зависимость примерно справедлива и применительно к росту народонаселения.
В экспоненциальной кривой можно обнаружить скрытую красоту и другого рода. Взгляните на кривую, изображенную на рис. 7. Она напоминает нам нечто знакомое: волну. В математике ее называют синусоидой и обозначают sin x; эту кривую можно задать и алгебраически, вычисляя по формуле.
На первый взгляд синусоида имеет весьма отдаленное сходство с экспонентой. Синусоида периодична: подъемы на графике регулярно чередуются со спадами, тогда как экспоненциальная кривая непрерывно и все быстрее возрастает. Связь между этими двумя кривыми обнаружится, если начертить график градиента синусоиды: мы получим другую синусоиду, смещенную на четверть длины волны вправо относительно первой. Эта кривая называется косинусоидой. Построив график угла наклона касательной косинусоиды, мы сдвинем последнюю еще на четверть длины волны вправо и получим кривую, совпадающую с первой синусоидой, только перевернутой. Проделав такую операцию еще два раза, мы вернемся к исходной кривой. Таким образом, экспонента и синусоида (или косинусоида) обладают одним общим важным свойством симметрии, устанавливающим связь между формой самой кривой и формой кривой, описывающей угол наклона касательной к ней (градиент).
Рис.7.Синусоида. Характерной форме этой кривой соответствуют математические свойства, тесно связанные со свойствами экспоненциальной кривой, изображенной на рис. 6. Синусоида описывает широкий круг физических явлений, включая волновое движение и периодические колебания.
Эта глубокая связь между е^x и sin x полностью выявляется в теории комплексных чисел, где обычная система чисел обобщается и включает квадратные корни из отрицательных чисел. Оказывается, что когда x – квадратный корень из отрицательного числа, е^x становится смесью двух волн – синусоидальной и косинусоидальной. Теперь уже не приходится удивляться, что физические системы, поведение которых описывается экспонентой, способны проявлять и периодическое, “синусоидальное”, поведение. Примером такой системы может служить так называемый гармонический осциллятор, скажем, маятник или просто масса, прикрепленная к пружине. Если массу слегка отклонить от состояния равновесия, то она начнет колебаться взад-вперед в результате периодического воздействия пружины. Положение массы в зависимости от времени будет изменяться по синусоиде, изображенной на рис. 7. Такое движение массы определяется законом изменения силы натяжения пружины. Величина этой силы прямо пропорциональна смещению массы из положения равновесия, а направление таково, что она пытается вернуть массу в положение равновесия: если пружина растянута, то сила создает притяжение, если пружина сжата – отталкивание.
Предположим теперь, что сила, изменяющаяся по тому же закону, была бы направлена не к положению равновесия, а от него. Поведение системы в этом случае оказалось бы совершенно Другим. Отклонение массы от равновесия нарастало бы по экспоненте, масса разгонялась бы все быстрее в одном и том же направлении. С пружинами такое невозможно, а в других системах случается. Иногда система в одних условиях колеблется по синусоидальному закону, а в других срывается в экспоненциальный режим.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
Моррис рассказывает, как Эйнштейн реагировал на известие о том, что решающее предсказание его общей теории относительности получило подтверждение при астрономических наблюдениях. Эйнштейн отнесся к сообщению совершенно безучастно, и когда его спросили, как бы он отреагировал, если бы результаты противоречили его теории, ответил: “Мне было бы жалко Господа Бога, ведь теория-то правильная”.
Объяснить людям, далеким от математики, что такое математическое изящество, трудно, но я все-таки попытаюсь. Взгляните на кривую, изображенную на рис. 6. Хотя она гладкая и не имеет никаких особенностей, кривую отнюдь не сразу поставишь в соответствие чему-либо, известному из повседневной жизни. Если бы вас попросили запомнить кривую и при случае точно воспроизвести ее, задача оказалась бы безнадежной. Вы легко могли бы воспроизвести, скажем, окружность или какую-нибудь белее сложную, но легко узнаваемую кривую, например эллипс (который представляет собой не что иное, как окружность, рассматриваемую под некоторым углом); однако кривая на рис. 6 обладает более сложной структурой, чем окружность: и наклон касательной к ней, и кривизна кривой изменяются вдоль нее по определенному закону, который тем не менее трудно установить точно.
Рис.6.Экспонента. Форма этой кривой отражает важные математические особенности, характерные для широкого круга физических явлений. Представленная в виде графика экспонента может, например, описывать неограниченный рост народонаселения.
Что же касается математика, то он без труда опознает эту кривую, и ему известно, как "за кодировать" все ее свойства, чтобы легко вспомнить их и воспроизвести с любой степенью точности, если это понадобится. В действительности эта кривая представляет график так называемой экспоненциальной функции, или экспоненты, которая математически записывается как е^x и часто встречается в самых различных задачах. Математику хорошо известно, что эту функцию можно вывести из формулы (1 + х/n)^n в пределе, когда п становится бесконечно большим, и поэтому, вооружившись микрокалькулятором, он может вычислить координаты каждой точки на графике с любой требуемой точностью.
“Экспоненциальная функция – одно из самых изящных соотношений, известных человеку”, – утверждает математик. Почему?
Предположим, что нас интересует наклон кривой в каждой ее точке. Сначала кривая идет очень полого, а по мере продвижения слева направо становится все круче. Построим график, но не самой экспоненциальной функции, а угла наклона касательной к ней. Как он выглядит? Оказывается, совпадает с графиком самой экспоненциальной функции. Экспонента – это такая функция, значение которой в любой точке совпадает с углом наклона касательной к ней в этой точке (или по крайней мере пропорционально ему). Именно поэтому экспоненциальная функция играет столь важную роль при описании простых форм роста, например, неограниченного размножения популяции, градиент (мера скорости роста) которой пропорционален численности самой популяции. В некоторых районах земного шара эта зависимость примерно справедлива и применительно к росту народонаселения.
В экспоненциальной кривой можно обнаружить скрытую красоту и другого рода. Взгляните на кривую, изображенную на рис. 7. Она напоминает нам нечто знакомое: волну. В математике ее называют синусоидой и обозначают sin x; эту кривую можно задать и алгебраически, вычисляя по формуле.
На первый взгляд синусоида имеет весьма отдаленное сходство с экспонентой. Синусоида периодична: подъемы на графике регулярно чередуются со спадами, тогда как экспоненциальная кривая непрерывно и все быстрее возрастает. Связь между этими двумя кривыми обнаружится, если начертить график градиента синусоиды: мы получим другую синусоиду, смещенную на четверть длины волны вправо относительно первой. Эта кривая называется косинусоидой. Построив график угла наклона касательной косинусоиды, мы сдвинем последнюю еще на четверть длины волны вправо и получим кривую, совпадающую с первой синусоидой, только перевернутой. Проделав такую операцию еще два раза, мы вернемся к исходной кривой. Таким образом, экспонента и синусоида (или косинусоида) обладают одним общим важным свойством симметрии, устанавливающим связь между формой самой кривой и формой кривой, описывающей угол наклона касательной к ней (градиент).
Рис.7.Синусоида. Характерной форме этой кривой соответствуют математические свойства, тесно связанные со свойствами экспоненциальной кривой, изображенной на рис. 6. Синусоида описывает широкий круг физических явлений, включая волновое движение и периодические колебания.
Эта глубокая связь между е^x и sin x полностью выявляется в теории комплексных чисел, где обычная система чисел обобщается и включает квадратные корни из отрицательных чисел. Оказывается, что когда x – квадратный корень из отрицательного числа, е^x становится смесью двух волн – синусоидальной и косинусоидальной. Теперь уже не приходится удивляться, что физические системы, поведение которых описывается экспонентой, способны проявлять и периодическое, “синусоидальное”, поведение. Примером такой системы может служить так называемый гармонический осциллятор, скажем, маятник или просто масса, прикрепленная к пружине. Если массу слегка отклонить от состояния равновесия, то она начнет колебаться взад-вперед в результате периодического воздействия пружины. Положение массы в зависимости от времени будет изменяться по синусоиде, изображенной на рис. 7. Такое движение массы определяется законом изменения силы натяжения пружины. Величина этой силы прямо пропорциональна смещению массы из положения равновесия, а направление таково, что она пытается вернуть массу в положение равновесия: если пружина растянута, то сила создает притяжение, если пружина сжата – отталкивание.
Предположим теперь, что сила, изменяющаяся по тому же закону, была бы направлена не к положению равновесия, а от него. Поведение системы в этом случае оказалось бы совершенно Другим. Отклонение массы от равновесия нарастало бы по экспоненте, масса разгонялась бы все быстрее в одном и том же направлении. С пружинами такое невозможно, а в других системах случается. Иногда система в одних условиях колеблется по синусоидальному закону, а в других срывается в экспоненциальный режим.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96