Применяя статистику Бозе – Эйнштейна к равновесному излучению, мы очень легко получим планковский закон спектрального распределения. Поскольку формула Планка надежно подтверждается экспериментально, то мы получаем здесь замечательное подтверждение и статистики Бозе – Эйнштейна. И это подтверждение очень убедительно, ибо ни классическая статистика, ни статистика Ферми – Дирака не позволяют получить Правильного спектрального распределения фотонов равновесного излучения.
Статистика Ферми – Дирака нашла замечательное подтверждение в электронной теории металлов. Еще в старой электронной теории Друде и Лоренц, нашли объяснение ряда свойств металлов, например, их способности проводить тепло и электричество. Они предположили, что атомы в металле частично ионизованы, причем в результате этой ионизации внутри металла образуется газ из свободных электронов. Применив к этому электронному газу методы статистической механики, они сумели удовлетворительно объяснить большинство свойств металлов.
Однако в этой теории еще оставалось много трудностей, Самая большая была связана с удельной теплоемкостью металлов, которая из-за наличия внутри металла свободных электронов должна была быть во много раз больше, чем это есть в действительности.
Развитие новой статистики позволило Зоммерфельду разрешить некоторые из этих трудностей. Поскольку электроны подчиняются принципу Паули, они должны описываться статистикой Ферми – Дирака. Простой численный расчет показывает, что условия, в которых находятся электроны внутри металла, весьма отличаются от условий существования атомов обычного газа. Для этих последних результаты, полученные с помощью статистики Ферми – Дирака, не сильно отличаются от результатов, которые дает классическая статистика. Что же касается электронов внутри металла, то там, наоборот, статистика Ферми приводит к иным результатам, чем статистика Больцмана.
Это различие – прямое следствие необычайно малой массы электрона по сравнению с массой атома. Если предположить, что справедлива квантовая статистика, то нужно пересмотреть теории Друде и Лоренца. Это и сделал Зоммерфельд. Он сохранил правильные результаты старой теории, внеся в них поправки, и разрешил большое число возникших в ней трудностей. Например, он легко объяснил, исходя из положений статистики Ферми – Дирака, почему свободные электроны не вносят заметного вклада в теплоемкость металлов и, следовательно, почему их теплоемкость почти не отличается от теплоемкости, найденной без учета свободных электронов. Таким образом, устранялось основное ошибочное предсказание старой теории. Многие теоретики, среди которых мы упомянем Леона Бриллюэна, Феликса Блоха и Пайерлса, встали на путь, указанный работой Зоммерфельда, и в значительной степени развили первые результаты. Это – самостоятельная важная область физики, о которой из-за ограниченного объема этой книги мы, к сожалению, не можем больше говорить. Мы лишь заметим, что наряду с этими блестящими результатами еще остаются кое-какие неясности.
Из других приложений квантовой статистики мы только укажем (без обсуждения), что Ферми блестяще применил свою статистику к исследованию свойств атомов, рассматривая каждый атом как газ из нескольких электронов, помещенный в поле центральных сил ядра.
5. Замечание о принципе тождественности
Волновая механика систем, содержащих частицы одинаковой природы, и их квантовая статистика требуют, как видно, чтобы мы в какой-то мере отказались от представления о различности частиц. Однако полный отказ от признания различности частиц мог бы показаться несколько чрезмерным требованием. Казалось, что возможность различать частицы связана с возможностью локализовать их в различных областях пространства. Последняя возможность всегда существует, поэтому всегда можно различать частицы экспериментально, локализуя их в различных областях пространства. В то же время, когда распределения плотности вероятности нескольких частиц перекрываются, т е. когда становятся возможными обменные эффекты, то различить отдельные частицы уже невозможно: об этом мы уже говорили, когда речь шла об обменной энергии. Но именно такой случай реализуется в большинстве систем, рассматриваемых квантовой механикой, в частности, в газе, где предполагается, что частицы обладают строго определенной энергией: энергией, соответствующей плоской монохроматической волне (или почти такой), заполняющей весь сосуд. Таким образом, понятно, почему в классической механике не возникает проблема неразличимости частиц, она связана с тем, что две квантовые частицы могут занимать (по крайней мере потенциально) одну и ту же область пространства, что характерно для квантовомеханических представлений.
Если вернуться к замечаниям, сделанным в п. 3 и 4, то увидим, что и неразличимость частиц, и принцип Паули, и обменная энергия – это три внутренне связанных таинственных свойства: все они вытекают из невозможности точно описать физические явления в трехмерном непрерывном пространстве или (в более общем случае) в четырехмерном пространственно-временном континууме. Возможно, что когда-нибудь, исходя из других представлений, мы сумеем глубже проникнуть в смысл этих великих руководящих принципов новой физики. Но сегодня они еще совершенно неясны.
Мы могли бы сказать также, что физическое понятие индивидуального является дополнительным к понятию системы в том смысле, какой придавал этому термину Бор. Действительно, частицу можно различить лишь тогда, когда она изолирована. Если же она вступает во взаимодействие с другими частицами, то она теряет свою индивидуальность. Хотя в классических теориях это подчеркивается недостаточно, представление о потенциальной энергии взаимодействия системы означает некоторую потерю индивидуальности компонент системы благодаря объединению части их полной энергии в потенциальную энергию системы.
В тех случаях, которые рассматривает новая механика, когда тождественные частицы занимают, иногда в тот же самый момент времени, одну область пространства, индивидуальность отдельных частиц уменьшается до нуля. Если постепенно переходить от случая изолированных частиц без взаимодействия к только что рассмотренным случаям, то понятие индивидуальности частиц будет становиться все более и более неясным, в то время как представление о системе будет проявляться все более четко. Таким образом, оказывается, что эти два понятия являются дополнительными идеализациями. Впрочем, это всего лишь некая идея, требующая более тщательного исследования.
Литература
Мы решили привести этот небольшой список литературы для удобства тех читателей, которые захотят продолжить и углубить свое знакомство с предметом этой книги, В списке – разные книги, В некоторых из них только отдельные главы или отдельные статьи посвящены собственно квантовой физике.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72
Статистика Ферми – Дирака нашла замечательное подтверждение в электронной теории металлов. Еще в старой электронной теории Друде и Лоренц, нашли объяснение ряда свойств металлов, например, их способности проводить тепло и электричество. Они предположили, что атомы в металле частично ионизованы, причем в результате этой ионизации внутри металла образуется газ из свободных электронов. Применив к этому электронному газу методы статистической механики, они сумели удовлетворительно объяснить большинство свойств металлов.
Однако в этой теории еще оставалось много трудностей, Самая большая была связана с удельной теплоемкостью металлов, которая из-за наличия внутри металла свободных электронов должна была быть во много раз больше, чем это есть в действительности.
Развитие новой статистики позволило Зоммерфельду разрешить некоторые из этих трудностей. Поскольку электроны подчиняются принципу Паули, они должны описываться статистикой Ферми – Дирака. Простой численный расчет показывает, что условия, в которых находятся электроны внутри металла, весьма отличаются от условий существования атомов обычного газа. Для этих последних результаты, полученные с помощью статистики Ферми – Дирака, не сильно отличаются от результатов, которые дает классическая статистика. Что же касается электронов внутри металла, то там, наоборот, статистика Ферми приводит к иным результатам, чем статистика Больцмана.
Это различие – прямое следствие необычайно малой массы электрона по сравнению с массой атома. Если предположить, что справедлива квантовая статистика, то нужно пересмотреть теории Друде и Лоренца. Это и сделал Зоммерфельд. Он сохранил правильные результаты старой теории, внеся в них поправки, и разрешил большое число возникших в ней трудностей. Например, он легко объяснил, исходя из положений статистики Ферми – Дирака, почему свободные электроны не вносят заметного вклада в теплоемкость металлов и, следовательно, почему их теплоемкость почти не отличается от теплоемкости, найденной без учета свободных электронов. Таким образом, устранялось основное ошибочное предсказание старой теории. Многие теоретики, среди которых мы упомянем Леона Бриллюэна, Феликса Блоха и Пайерлса, встали на путь, указанный работой Зоммерфельда, и в значительной степени развили первые результаты. Это – самостоятельная важная область физики, о которой из-за ограниченного объема этой книги мы, к сожалению, не можем больше говорить. Мы лишь заметим, что наряду с этими блестящими результатами еще остаются кое-какие неясности.
Из других приложений квантовой статистики мы только укажем (без обсуждения), что Ферми блестяще применил свою статистику к исследованию свойств атомов, рассматривая каждый атом как газ из нескольких электронов, помещенный в поле центральных сил ядра.
5. Замечание о принципе тождественности
Волновая механика систем, содержащих частицы одинаковой природы, и их квантовая статистика требуют, как видно, чтобы мы в какой-то мере отказались от представления о различности частиц. Однако полный отказ от признания различности частиц мог бы показаться несколько чрезмерным требованием. Казалось, что возможность различать частицы связана с возможностью локализовать их в различных областях пространства. Последняя возможность всегда существует, поэтому всегда можно различать частицы экспериментально, локализуя их в различных областях пространства. В то же время, когда распределения плотности вероятности нескольких частиц перекрываются, т е. когда становятся возможными обменные эффекты, то различить отдельные частицы уже невозможно: об этом мы уже говорили, когда речь шла об обменной энергии. Но именно такой случай реализуется в большинстве систем, рассматриваемых квантовой механикой, в частности, в газе, где предполагается, что частицы обладают строго определенной энергией: энергией, соответствующей плоской монохроматической волне (или почти такой), заполняющей весь сосуд. Таким образом, понятно, почему в классической механике не возникает проблема неразличимости частиц, она связана с тем, что две квантовые частицы могут занимать (по крайней мере потенциально) одну и ту же область пространства, что характерно для квантовомеханических представлений.
Если вернуться к замечаниям, сделанным в п. 3 и 4, то увидим, что и неразличимость частиц, и принцип Паули, и обменная энергия – это три внутренне связанных таинственных свойства: все они вытекают из невозможности точно описать физические явления в трехмерном непрерывном пространстве или (в более общем случае) в четырехмерном пространственно-временном континууме. Возможно, что когда-нибудь, исходя из других представлений, мы сумеем глубже проникнуть в смысл этих великих руководящих принципов новой физики. Но сегодня они еще совершенно неясны.
Мы могли бы сказать также, что физическое понятие индивидуального является дополнительным к понятию системы в том смысле, какой придавал этому термину Бор. Действительно, частицу можно различить лишь тогда, когда она изолирована. Если же она вступает во взаимодействие с другими частицами, то она теряет свою индивидуальность. Хотя в классических теориях это подчеркивается недостаточно, представление о потенциальной энергии взаимодействия системы означает некоторую потерю индивидуальности компонент системы благодаря объединению части их полной энергии в потенциальную энергию системы.
В тех случаях, которые рассматривает новая механика, когда тождественные частицы занимают, иногда в тот же самый момент времени, одну область пространства, индивидуальность отдельных частиц уменьшается до нуля. Если постепенно переходить от случая изолированных частиц без взаимодействия к только что рассмотренным случаям, то понятие индивидуальности частиц будет становиться все более и более неясным, в то время как представление о системе будет проявляться все более четко. Таким образом, оказывается, что эти два понятия являются дополнительными идеализациями. Впрочем, это всего лишь некая идея, требующая более тщательного исследования.
Литература
Мы решили привести этот небольшой список литературы для удобства тех читателей, которые захотят продолжить и углубить свое знакомство с предметом этой книги, В списке – разные книги, В некоторых из них только отдельные главы или отдельные статьи посвящены собственно квантовой физике.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72