Мартин Гарднер.
Остров пяти красок
Martin Gardner. The Island Of Five Colours
(Fantasia Mathematica, N.Y., 1958)

В Монровии, столице Либерии, есть только один магазин москательных
товаров. Когда я сказал темнокожему клерку, сколько галлонов краски мне
нужно, он поднял в удивлении кустистые брови и присвистнул:
- Не иначе, как вы собрались выкрасить гору, мистер!
- Нет, - заверил я его, - не гору, всего лишь остров.
Клерк улыбнулся. Он думал, что я шучу, но я действительно собирался
выкрасить целый остров в пять цветов: красный, синий, зеленый, желтый и
пурпурный.
Для чего мне это понадобилось? Чтобы ответить на этот вопрос, мне
придется вернуться на несколько лет назад и объяснить, почему я
заинтересовался проблемой "четырех красок" - знаменитой, тогда еще не
решенной проблемой топологии. В 1947 г. профессор Венского университета
Станислав Сляпенарский прочитал в Чикагском университете цикл лекций по
топологии и теории относительности. Я в то время был преподавателем
математического факультета Чикагского университета (теперь я уже доцент).
Мы подружились, и мне выпала честь представить его членам общества
"Мебиус" в тот вечер, когда он прочитал свою сенсационную лекцию о
"нульсторонних поверхностях". Читатели, следившие за научными достижениями
Сляпенарского, должно быть, помнят, что он вскоре после этого скончался от
сердечного приступа в начале 1948 г.
Проблема четырех красок была темой моей докторской диссертации. Еще
до визита Сляпенарского в США мы обменялись с ним несколькими письмами,
обсуждая различные аспекты этой трудной проблемы. Гипотеза о четырех
красках утверждает, что для правильной раскраски любой карты (при которой
любые две сопредельные страны, имеющие общий отрезок границы, будут
выкрашены в различные цвета, и две страны не считаются сопредельными, если
их границы имеют лишь одну общую точку) достаточно четырех красок. Страны
на карте могут быть любых размеров и самых причудливых очертаний. Число их
также может быть произвольным. Гипотеза четырех красок была впервые
высказана одним из создателей топологии, Мебиусом, в 1860 г., и, хотя над
решением ее бились лучшие умы в математике, ее не удавалось ни доказать,
ни опровергнуть [рассказ написан в 1952 г.; положительное решение проблемы
четырех красок было найдено в 1978 г.].
По странному стечению обстоятельств проблема четырех красок была
решена для всех поверхностей, кроме сферы и плоскости. В 1890 г.
Р.Дж.Хивуд доказал, что для раскраски поверхности тора (поверхности
бублика) необходимо и достаточно семи красок, а в 1934 г. Филип Франклин
доказал, что шести красок достаточно для раскраски карт на односторонних
поверхностях типа листа Мебиуса и бутылки Клейна.
Открытие Сляпенарским нульсторонних поверхностей возымело далеко
идущие последствия для изучения свойств бутылки Клейна и произвело
подлинный переворот в исследованиях по проблеме четырех красок. Как сейчас
вижу мощную фигуру Сляпенарского, который, улыбаясь и теребя бородку,
говорит: "Дорогой Мартин, если история топологии чему-нибудь и учит, то
только тому, что следует ожидать самых неожиданных и удивительных связей
между, казалось бы, совершенно не связанными между собой топологическими
проблемами".
Развивая некоторые идеи Сляпенарского, я опубликовал в 1950 г. свою
известную работу с опровержением "доказательства" Хивуда (полагавшего, что
для правильной раскраски карты плоскости необходимо и достаточно пяти
красок). По всеобщему убеждению топологов, для правильной раскраски
плоскости или сферы достаточно четырех красок, но в свете новейших
достижений становится ясно, что от строгого доказательства такого
утверждения мы в настоящее время находимся дальше, чем когда-либо.
Вскоре после выхода в свет моей работы по проблеме четырех красок мне
довелось завтракать в университетском клубе "Четырехугольник" с
профессором Альмой Буш. Альма - один из ведущих наших антропологов и,
несомненно, самая красивая женщина во всем университете. Хотя ей уже под
сорок, выглядит она молодо и весьма женственна. Глаза у нее светло-серые,
и когда Альма о чем-то думает, то имеет обыкновение чуть-чуть их щурить.
Альма только что вернулась из экспедиции на небольшой остров,
расположенный в нескольких сотнях миль от побережья Либерии у западной
кромки африканского материка. Она возглавляла группу
студентов-антропологов, изучавших нравы и обычаи пяти племен, населявших
остров. Племена эти представляли огромный интерес для антрополога, так как
их обычаи варьировались в необычайно широких пределах.
- Остров разделен на пять областей, - сообщила мне Альма, вставляя
сигарету в длинный мундштук из черной пластмассы.
- Все они граничат друг с другом. Это важно для понимания тамошних
нравов. Общность границ позволяет племенам поддерживать некое единство
культур. Что с тобой, Марти? Почему у тебя такой изумленный вид?
Я застыл, так и не донеся вилку до рта, и медленно положил ее на
стол.
- Потому, что ты рассказываешь невероятные вещи. Такого просто не
может быть.
Альма была уязвлена:
- Чего не может быть?
- Пяти племен, имеющих общие границы. Это противоречит знаменитой
проблеме четырех красок.
- Противоречит чему?
- Проблеме четырех красок, - повторил я. - Есть такая проблема в
топологии. Хотя она никем не доказана и не опровергнута, никто не
сомневается, что она верна.
Я принялся концом ложки чертить на скатерти, пытаясь объяснить Альме,
в чем здесь дело.
Альма быстро схватила общую идею.
- Может быть, у островных племен другая математика? - высказала она
предположение, щурясь от дыма сигареты.
Я покачал головой.
- Математика, дорогая моя, едина для всех культур. Дважды два всегда
четыре, даже в Африке.
Альма не разделяла моего мнения. Она сказала, что в математическом
мышлении первобытных обществ имеются весьма значительные культурные
"вариации". Лично ей известно, добавила она, одно племя, стоящее на крайне
низком уровне развития, члены которого считают, что если к двум лодкам
прибавить две лодки, то неизменно получится пять лодок.
- Значит, они просто не умеют считать, - заметил я.
- Так, как ты, - добавила Альма. В ее серых глазах прыгали смешинки.
- Видишь ли, Альма, - сказал я, когда мы приступили к малиновому
компоту, - если твой остров действительно разделен так, как ты говоришь,
на пять областей, каждая из которых имеет общую границу с четырьмя другими
областями, то я начинаю верить в математические способности твоих
островитян.
1 2 3 4 5 6